Łańcuch typu Markov set-chain - zastosowanie w analizie systemu bonus-malus

• Autorzy: Małgorzata Niemiec

Warianty tytułu

Markov Set-Chain - Application to Analysis of Bonus-Malus System

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

Celem artykułu jest prezentacja koncepcji łańcucha typu Markov set-chain oraz zastosowanie jej w analizie systemu bonus-malus, powszechnie stosowanego w ubezpieczeniach komunikacyjnych. W rozdziale pierwszym opisane są podstawy teoretyczne i własności łańcucha typu Markov set-chain. Łańcuch ten, zdefiniowany przez Hartfiela, stanowi swoiste uogólnienie klasycznych łańcuchów Markowa. Podstawą jego koncepcji jest założenie, iż prawdopodobieństwa przejścia w kolejnych okresach mogą się zmieniać, ale w określonym zakresie. Przyjmuje się, że znany jest jedynie zbiór, do którego należą te prawdopodobieństwa, a nie konkretne ich wartości. Dopuszczenie zmienności prawdopodobieństw przejścia w czasie pozwala na rozszerzenie zakresu analizy zjawisk do tej pory modelowanych na gruncie teorii jednorodnego łańcucha Markowa. Ponadto, stosując łańcuch typu Markov set-chain, uwalnia się od problemu - pojawiającego się przy wykorzystaniu niejednorodnego łańcucha Markowa - konieczności identyfikacji reguł rządzących zmianami macierzy prawdopodobieństw przejścia w poszczególnych okresach. Dodatkową zaletą rozważanego łańcucha jest możliwość wnioskowania o jego własnościach granicznych, co w przypadku niejednorodnego łańcucha Markowa może sprawiać trudność i przez to ograniczać jego zastosowanie. Rozdział drugi zawiera przykład wykorzystania łańcucha typu Markov set-chain w analizie systemu bonus-malus. System ten tworzą przyjęte przez zakład ubezpieczeń zasady określania wysokości składki ubezpieczonego na podstawie składki płaconej przez niego w poprzednim okresie oraz liczby zgłoszonych w tym czasie szkód. W literaturze przedmiotu system bonus-malus modelowany jest za pomocą jednorodnego łańcucha Markowa, co wymaga przyjęcia założenia o niezmienności macierzy prawdopodobieństw przejścia, a więc i rozkładu liczby szkód, którego podstawowym parametrem jest średnia szkodowość. W rzeczywistości wartość średniej szkodowości może się z okresu na okres zwiększać bądź

EN

The objective of the article is to present the concept of Markov set-chains and to apply it to the analysis of bonus-malus systems commonly used in automobile insurance. In Section 1 theoretical basis and properties of Markov set-chains are described. This type of chains defined by Hartfiel constitutes a specific generalisation of the idea of classical Markov chains. The basic assumption consists in allowing for changes of transition probabilities at each step in a definite range. It is assumed that only compact sets of transition probabilities and not their actual values are known. Thus variability of the probabilities is possible, which enables to broaden the scope of the analysis of phenomena modelled to date in the framework of the theory of homogeneous Markov chains. Besides, for the purpose of Markov set-chain application there is no need to determine rules of transition matrix changes at each step, as it is necessary while applying nonhomogeneous Markov chains. Moreover, it is easy to examine their long run behaviour, which in case of nonhomogeneous Markov chains is often difficult and restricts their use. In Section 2 an example of the application of Markov set-chains to the analysis of an automobile insurance system is presented. The bonus-malus system is a system of assigning premiums on the basis of the premium paid in the preceding period and the number of claims reported by a policyholder at that time. In the literature this system is commonly modelled with the use of homogeneous Markov chains, which requires often unrealistic assumption of constant transition matrix and consequently unchanged loss number distribution. The basic parameter of the loss number distribution is its mean called an average claim frequency. Its value may fluctuate from time to time due to insurance companies' actions, changes in the behaviour of a policyholder as well as external factors such as weather conditions or state of roads. In Section 2 a model of a

Słowa kluczowe

PL

Ubezpieczenia komunikacyjne OC; Łańcuch Markowa; Systemy bonus-malus

EN

Motor insurance; Markov chain; Bonus-malus system

• Czasopismo: Przegląd Statystyczny
• Rocznik: 2005
• Tom: 52
• Numer: z. 1
• Strony: 87--102

Twórcy

autor

Małgorzata Niemiec

Bibliografia

• [1] Decewicz A., Gyczew A., Wprowadzenie do teorii i zastosowań Markov set-chains, Instytut Ekonometrii SGH, Warszawa, 2001.
• [2] Hartfiel D.J., Markov set-chains, Springer Verlag, New York, 1998.
• [3] Komisja Nadzoru Ubezpieczeń i Funduszy Emerytalnych, Ubezpieczenia komunikacyjne w przededniu akcesji Polski do UE, Warszawa, 2003, www.knuife.gov.pl.
• [4] Lemaire J., Bonus-malus systems in automobile insurance, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1995,
• [5] Podgórska M., Śliwka E, Topolewski M, Wrzosek M., Łańcuchy Markowa w teorii i zastosowaniach, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa, 2000.
• [6] Samuels C.L., Markov set-chains as models of plant succession, Praca Doktorska, University of Tennessee, Knoxville, 2001.
• [7] Stawicki J., Wykorzystanie łańcuchów Markowa w analizie rynku kapitałowego, Wydawnictwo Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, Toruń, 2004.