O zasadzie wiązek stycznych

• Autorzy: Tadeusz Janaszak

Warianty tytułu

The Tangent Lines and Local Property

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

W pracy rozpatruje się lokalne własności procesów ekonomicznych. Zakłada się, że proces ekonomiczny jest dany funkcją jednej zmiennej. W naukach ekonomicznych kształt funkcji mówi o globalnych własnościach procesu; lokalne własności procesu reprezentowane są przez wyrażenia algebraiczne zawierające: pochodną funkcji w zadanym punkcie; mogą też zawierać liczbową wartość argumentu funkcji lub wartość funkcji obliczoną dla tego argumentu. Poszczególne wyrażenia algebraiczne są reprezentowane przez linie styczne do procesu. Np. wartości krańcowe ustalające proporcję między bezwzględnym przyrostem zmiennej zależnej: dy i bezwzględnym przyrostem zmiennej niezależnej: dx utożsamiane są z klasyczną pochodną liniową i reprezentowane są przez linię prostą styczną do procesu. Pochodna logarytmiczna będąca współczynnikiem proporcjonalności między względnym przyrostem wartości funkcji: dy/y i bezwzględnym przyrostem argumentu: dx wyraża się jako iloraz klasycznej pochodnej liniowej: y' i wartości funkcji: y. Pochodna logarytmiczna reprezentuje się przez krzywą wykładniczą styczną do procesu. Elastyczność wyraża proporcję między względnym przyrostem zmiennej zależnej: dy/y i względnym przyrostem argumentu: dx/x; jej liczbowa wartość, to iloczyn klasycznej pochodnej liniowej: y' oraz stosunku wartości argumentu: x do wartości funkcji: y. Reprezentuje się ona przez krzywą potęgową styczną do procesu. Rzadziej jest używany miernik ustalający proporcję między bezwzględnym przyrostem zmiennej zależnej: dy i względnym przyrostem zmiennej niezależnej: dx/x. Wyraża się on iloczynem klasycznej pochodnej liniowej: y' i wartości argumentu: x, a reprezentuje się przez krzywą logarytmiczną styczną do procesu. Każda funkcja liniowa ma na całej swej długości stałą wartość krańcową. Każda funkcja wykładnicza na całej długości ma stałą pochodną logarytmiczną. Każda funkcja potęgowa na całej swej długości ma stały współczynnik elastyczności. Czwarty wymieniony współczynnik jest

EN

In this paper is considered the local property of economic processes. The economic process is said a real function. In the science of economics the shape of the function is global property of economic process. The local property of the processes is an algebraic expression. Each expression contains: the derivative of the function, and alternatively the value of the function, or the value of the argument of the function; it is represented by an tangent line to the process. For example: marginal value of the process is a coefficient of proportionality for: expansion of the function: dy and expansion of the argument: dx, so it is the classic linear derivative of the process: y'. The marginal value is represented by linear function tangent to the process. Logarithmic derivative of the process is a coefficient of proportionality for: relative expansion of the function: dy/y and expansion of the argument: dx. The value of the logarithmic derivative is a quotient of the classic linear derivative: v' and the value of the process: y. The logarithmic derivative is represented by the exponential function tangent to the process. Elasticity of the process is a coefficient of proportionality for: relative expansion of the function: dy/y and relative expansion of the argument: dx/x. The value of the elasticity is a product of the classic linear derivative: y' and the quotient of the value of the argument: x and the value of the function: y. Elasticity of the process is represented by the power function tangent to the process. There is fourth measure; this one is a coefficient of proportionality for: expansion of the function: v and relative expansion of the argument: dx/x. The value of this measure is a product of the classic linear derivative: y' and the value of the argument: x; it is represented by the logarithmic function tangent to the process. Each linear function in each point has got identical marginal value. Each exponential function has got the same

Słowa kluczowe

PL

Modele matematyczne; Ekonometria

EN

Mathematical models; Econometrics

• Czasopismo: Przegląd Statystyczny
• Rocznik: 2005
• Tom: 52
• Numer: z. 2
• Strony: 23--39

Twórcy

autor

Tadeusz Janaszak

Bibliografia

• [1] Begg D., Dornbusch R., Fischer S., Ekonomia Mikroekonomia, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 2000.
• [2] Cartan H., Calcul differentiel Formes differentieles, Herman, Paris 1967.
• [3] Fichtenholz G.M., Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1966.
• [4] Forlicz S., Jasiński M., Mikroekonomia, Wydawnictwo Wyższej Szkoły Bankowej, Poznań 2000.
• [5] Janaszak T., Pochodna wykładnicza w matematyce finansowe;, Ekonometria 5, Prace Naukowe AE we Wrocławiu, s. 35-50, 2000.
• [6] Janaszak T., Topologie lejków, Dydaktyka Matematyki 1, Wydawnictwo AE we Wrocławiu, s. 23-38, 2000a.
• [7] Janaszak T., Uwagi o funkcjach stycznych, Ekonomia Matematyczna 5, Wydawnictwo AE we Wrocławiu, s. 121-132, 2001.
• [8] Janaszak T., Pochodne eksponencjalne wyższych rzędów, Przegląd Statystyczny 47, zeszyt 3-4, s. 339-351, 2000d.
• [9] Janaszak T., Równoległy rachunek różniczkowy w badaniach ekonomicznych, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, monografia s. 215, 2003.
• [10] Jaśkiewicz G., Metoda odwzorowań liniowych w analizie układów nieliniowych, Praca doktorska w Politechnice Wrocławskiej, 1965.
• [11] Klimczak B., Mikroekonomia, AE Wrocław, 1998.
• [12] Kuratowski K., Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej, PWN, Warszawa 1975.
• [13] Samuelson P.A., Nordhaus W, Ekonomia, PWN, Warszawa 1999.
• [14] Smoluk A., O definicji pochodnej, Prace Naukowe AE Wrocław 615, s. 19-23, 1992.
• [15] Smoluk A., Algebra o (f), czyli jeszcze o lejkach, Dydaktyka Matematyki 1, AE we Wrocławiu, s. 15-21, 2000.