Procesy stochastyczne w matematyce ubezpieczeniowej

• Autorzy: Wojciech Rybicki

Warianty tytułu

Stochastic Processes in Insurance Mathematics

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

W pracy przedstawiono podstawowe koncepcje i modele matematycznej teorii ryzyka w ubezpieczeniach. W pierwszej, "humanistycznej" części artykułu (punkt 2, "Historia"), autor podkreśla historyczny rozwój koncepcji ubezpieczeń i pojawienie się aktuarialistyki. Dalsze części pracy napisane są w bardziej sformalizowanej konwencji, nie są to jednak formalne rozważania matematyczne. Punkt 3 ("Modele ryzyka indywidualnego i kolektywnego") bada klasyczny model F. Lundberga, stworzony "z punktu widzenia" ubezpieczenia firm jak również towarzyszących zmian w stanie kapitału ubezpieczyciela. Założenie o "idealnej" naturze omawianego zjawiska prowadzi do procesu Poissona (formalny opis zmian poziomu kapitału ubezpieczonej społeczności, "proces nadwyżki" i proces ryzyka). Autor porównuje modele ryzyka łączonego i indywidualnego, zwraca uwagę na problem ruiny ubezpieczyciela oraz proponuje estymatory Lundberga i Cramera. Usunięcie sztucznych uproszczonych założeń prowadzi do uogólnienia modeli procesów ryzyka. Zawierają one mieszane i podwójnie stochastyczne procesy Poissona, które zostały omówione w punkcie 4 ("Współczesna Teoria Ryzyka Ubezpieczeniowego"). W punkcie tym autor przedstawia również tak zwane martyngałowe podejście do procesów ryzyka, zapoczątkowane w połowie lat 70-tych przez wybitnego szwajcarskiego matematyka H. Gerbera.

EN

This is a presentation of the basic concepts and models of the mathematical theory of the insurance risk. In the first, "humanities" part of the article (point 2, "History"), the author outlines the historical development of insurance concepts and the emergence of actuaristics. Further parts of the study are written in a more formalized convention but they are not strictly formal mathematical reflections. Point 3 ("Models of Individual and Collective risk") examines the classical F. Lundberg model, construed "from the viewpoint" of an insurance firm as well as the accompanying changes in the state of the insurer's capital. The assumption of the "ideal" nature of the phenomenon in question leads to the Poisson process (formal description of the fluctuation in the level of the insurance society's capital, the "surplus process" and the process of risk). The author compares models of combined and individual risk, draws attention to the problem of the insurer's ruin and proposes Lundberg and Cramer estimates. The elimination of artificial simplification premises leads to a generalization of the models of risk processes. They include mixed and double stochastic Poisson processes which are discussed in point 4 ("The Contemporary Theory of Insurance Risk"). Here, the author also depicts the so-called martingale approach to the risk processes, initiated in the mid-1970s by the outstanding Swiss mathematician H. Gerber. (original abstract)

Słowa kluczowe

PL

Procesy stochastyczne; Ubezpieczenia; Ryzyko w ubezpieczeniach; Modele oceny ryzyka

EN

Stochastic processes; Insurances; Insurance risk; Risk assessment models

• Czasopismo: Przegląd Statystyczny
• Rocznik: 1995
• Tom: 42
• Numer: z. 2
• Strony: 237--247

Twórcy

autor

Wojciech Rybicki

• Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu

Bibliografia

• [1] Barndorff-Nielsen O, Yeo G.F., Negative binomial processes, J. Applied Probability 6 (1969), s. 633-647.
• [2] Cox D.R., The analysis of non-Markovian stochastic processes by the inclusion of suplementary variables, Proc. Cambridge Phil. Society, 51 (1955), s. 433-441.
• [3] Cox D.R., Miller H.D., The Theory of Stochastic Processes, Methuen, & COLTD London 1965.
• [4] Cramer H., Collective risk theory, The jubilee volume of "Skandia", Stockholm 1952.
• [5] Delbaen F., Hazendouck J., A generalization of a result of H. Bühlmann on compound processes, Insurance Mathematics & Economics, 4 (1983).
• [6] Feller W., Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. II, PWN, Warszawa 1969.
• [7] Fisz M., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1967.
• [8] Freedman D., Poisson Processes with Random Arrival Rate, A. Math. Statistics, 33 (1962), s. 924-929.
• [9] Gerber H., Martingales in Risk Theory, Mitt. Ver. Schweiz. Vers. Math., 73, s. 205-216.
• [10] Gerber H., An Introduction to Mathematical Risk Theory, Huebner Founation for Insurance Education, Philadelphia 1979.
• [11] Grandel J., Doubly Stochastic Poisson Processes, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1976.
• [12] Krowicki S., Rybicki W., Sacała J., The shortest story of risk czyli o procesach stochastycznych w matematyce ubezpieczeniowej (1994), Materiały XXX Konferencji Polski Południowej, Polanica Zdrój, 4-6 maja 1994, ss. 71-82.
• [13] Lundberg F., Approximerad framställning av sanntikhets funktionen Aterrfösakringov Kollektivriser Uppsala 1903.
• [14] Lundberg F., Zur Theorie der Rückerversicherung, Verhandl. Kongr. Versicherungsmath, Wien 1909.
• [15] Lundberg O.,On random processes and their appliations to sickness and accident Statistics, Uppsala 1940.
• [16] Łazowski J., Wstęp do nauki o ubezpieczeniach, Nakładem Państwowego Zakładu Ubezpieczeń Wzajemnych, Warszawa 1934.
• [17] Moriconi F., Ruin theory under the Submartingale assumptions in Insurance and Risk Theory, ed. F. Goervaerts, F. de Vylder, J. Haezendonck (1986).
• [18] Panjer H., Wilmot G., Compound Poisson Models in Actuarial Risk Theory, Journal of Econometrics, 23 (1983), s. 77-90.
• [19] Rybicki W., Kryteria optymalności w zagadnieniach prognozy. Wrocław 1979 (praca doktorska).
• [20] Thyrion P., Extension of collective risk theory, Skandinavis Aktuarietidiskrift 52 (1969), s. 84-98.