Optimal strategy for a discrete risk process in the case of ordered claim distributions

• Autorzy: Agnieszka Groniowska

Warianty tytułu

Optymalna strategia dla dyskretnego procesu ryzyka w przypadku uporządkowanych rodzin rozkładów wysokości szkód

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The paper concerns the problem of choosing the optimal strategy by the insurer to minimize the infinite time ruin probability. The risk process which is a model of changing the level of insurer's financial surplus involves initial capital, collected premium and paid claims and avoids the problem of operation costs or another in- and outcomes. It is the reason the ruin - an event that the surplus is negative - is meant only in a technical sense and does not indicate a bankruptcy at once. We consider the risk process which is discrete with respect both to the time and the state space. There is a natural question whether by observing the run of the risk process the insurer is able to intervene to change the unfavorable situation. It could be done by choosing a reinsurance contract, investment parameters or the portfolio content. The last possibility is of our interest. The insurer's influence on the run of the risk process is a very important issue from the application point of view. The changing of the portfolio content can be connected with a correction of the operating region, exclusion of some kinds of contracts or modification of the policy conditions. We assume that the insurer is able to change dynamically the portfolio content at every moment the risk process is observed at. It means there is possibility to change the parameters which influence the claim size distributions. A modification of the risk process allows us to establish that the optimal strategy exists and it is obtained by comparing ruin probabilities for fixed claim size distributions. For stochastically ordered distributions it is possible to present the form of the optimal strategy. It consists in choosing always this distribution which is the least in the sense of this order. However the same policy is not optimal for distributions ordered by the convex order. There are two counterexamples in the paper. The first one is analytical and concerns the easy case which we call simple random walk, the second one is numerical but is more realistic. The optimal strategy for any discrete claim size distributions can be obtained numerically. However the results are not always consistent with intuitive expectations. (original abstract)

W pracy rozważany jest proces ryzyka z dyskretnym czasem i dyskretną przestrzenią stanów. Zakładamy, że ubezpieczyciel może dynamicznie zmieniać skład portfela, reprezentowany przez różne rozkłady wysokości szkód, aby zminimalizować prawdopodobieństwo ruiny w nieskończonym horyzoncie czasowym. Zmiana ta może odbywać się w każdej chwili, w której proces jest obserwowany i ma ona wpływ na dalszy przebieg procesu (sterowanie). Optymalną strategię uzyskuje się przez porównanie prawdopodobieństw ruiny dla ustalonych na cały czas trwania procesu rozkładów wysokości szkód. Dla stochastycznie uporządkowanych rodzin tych rozkładów można wskazać postać optymalnej strategii. Taka sama strategia nie jest jednak optymalna w przypadku uporządkowania stop-loss z równością średnich. Strategia optymalna dla dowolnych rozkładów wysokości szkód może być uzyskana numerycznie. Jej postać nie zawsze potwierdza oparte na intuicji przypuszczenia. (abstrakt oryginalny)

Słowa kluczowe

EN

Insurance risk; Theory of risk; Mathematical statistics

PL

Ryzyko w ubezpieczeniach; Teoria ryzyka; Statystyka matematyczna

• Czasopismo: Przegląd Statystyczny
• Rocznik: 2007
• Tom: 54
• Numer: z. 2
• Strony: 63--78

Twórcy

autor

Agnieszka Groniowska

Bibliografia

• [1] Asmussen S., [2000], Ruin Probabilities, World Scientific, Singapur.
• [2] Groniowska A., [2000], The run of a risk process and an insurer's intervention, Roczniki Kolegium Analiz Ekonomicznych SGH 8, 31-45 (in Polish).
• [3] Groniowska A., [2004], The Controlled Risk Process as a Model of Choosing Insurer's Strategy, unpublished Ph. D. Thesis, Warsaw School of Economics (in Polish).
• [4] Hipp C., [2003], Optimal dividend payment under a ruin constraint: discrete time and state space, Preprint: http://insurance.fbv.uni-karlsruhe.de/download/Hippneu.pdf.
• [5] Hipp C., Plum M., [2000], Optimal investment for insurers, "Insurance: Mathematics & Economics" 27, 215-228.
• [6] Hipp C., Taksar M., [2000], Stochastic control for optimal new business, "Insurance: Mathematics & Economics" 26, 185-192.
• [7] Hipp C., Vogt M., [2003], Optimal dynamic XL reinsurance, Preprint: http://insurance.fbv.uni-karlsruhe.de/download/vogt.pdf.
• [8] Hojgaard B., [2000], Optimal dynamic premium control in non-life insurance. Maximizing dividend pay-outs. Preprint, University of Aalborg.
• [9] Norris J.R., [1998], Markov Chains, Cambridge University Press, Cambridge.
• [10] Schmidli H., [2001], Optimal proportional reinsurance policies in a dynamic setting, "Scandinavian Actuarial Journal" 1, 55-68.
• [11] Schmidli H., [2002], On minimising the ruin probability by investment and reinsurance, "Annals of Applied Probabability", Vol. 12, No. 3, 890-907.
• [12] Shaked M., Shanthikumar J.G., [1994], Stochastic Orders and Their Applications, Academic Press, Boston.