PL EN


Preferencje help
Widoczny [Schowaj] Abstrakt
Liczba wyników
2009 | 26 | nr 76 Zastosowanie matematyki w ekonomii | 160--169
Tytuł artykułu

O zasadzie dualności w programowaniu liniowym

Autorzy
Warianty tytułu
On Dual Principle of Linear Programming
Języki publikacji
PL
Abstrakty
W artykule podano zasadę dualności wraz z krótkim i elementarnym jej dowodem. Program liniowy jest trójką (p*, A, q); szuka się maksimum funkcji f{x) = px przy ograniczeniach Ax ≤ q oraz x ≥ 0. Symbolem R(A, q) oznacza się zbiór rozwiązań dopuszczalnych {x є Rn: Ax ≤ q, x ≥ 0}, natomiast v(p* , A, q) jest wartością optymalną sup{px: x e R(A, q)}. Jeżeli program (p* , -A, q) jest zadaniem prymarnym, to problem {-q* , A* ,-p) jest do niego dualny, gdzie gwiazdka jest sprzężeniem, czyli transpozycją macierzy. Zasada dualności. Jeżeli zbiory R(-A, q) i R(A* , -p) nie są puste, to istnieje para decyzji optymalnych {u, w) є Rn x (Rm)* i ponadto pu = v(p , -A, q) = -v(-q* ,A*,-p) = qw. (abstrakt oryginalny)
EN
The article gives the dual principle of linear programming together with an elementary and short proof of it. Linear programme is defined as usual; it is an ordered triple (p *,A,q), where p* is a linear functional from the space of baskets of goods Rn into real line R, matrix A represents a technology - linear operator from Rn into Rm, and vector q є Rm says about materials - resources we have in stock. We are seeking the maximum of the function f(x) = px under conditions Ax ≤ q and x ≥ 0. Let symbol R(A, q) denote the set {x є Rn: Ax ≤ q, x ≥ 0} of all feasible solutions, while v(p* , A, q) designates the optimal value sup {px: x є R(A, q)} of the programme (p* , A, q). If a programme (p* , -A, q) is primary, than the programme (-q* , A* , -p) is dual to it, where the asterisk means conjugations or simply the transposition of a matrix. Principle of duality. If primary and dual programmes are consistent, the sets of feasible solutions R(-A, q) and R(A* , -p) are not empty, then there is a pair of optimal solutions (u, w) є Rn x (Rm) and moreover pu = v(p* ,-A,q) = -v{-q* ,A* ,-p) = qw, so we have equilibrium v(p* , -A, q) + v(-q* , A* , -p) = 0. (original abstract)
Twórcy
  • Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu
Bibliografia
  • Czerwiński Z., Wstęp do teorii programowania liniowego z elementami algebry wyższej, PWN, Poznań 1961.
  • Smoluk A., O perspektywie, dualności i equilibrium, „Przegląd Statystyczny” 2008, Tom 55, z. 2, s. 5-14.
  • Yaglom I., Trakhtenbrot B., Ventsel E., Solodovnikov A., Nouvelles orientations des mathématiques, Editions Mir, Moscou 1975.
Typ dokumentu
Bibliografia
Identyfikatory
Identyfikator YADDA
bwmeta1.element.ekon-element-000165973254

Zgłoszenie zostało wysłane

Zgłoszenie zostało wysłane

Musisz być zalogowany aby pisać komentarze.
JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce internetowej. Włącz go, a następnie odśwież stronę, aby móc w pełni z niej korzystać.