O pewnym dowodzie zasadniczego twierdzenia matematyki finansowej w modelu z przeliczalną przestrzenią zdarzeń elementarnych

• Autorzy: Paweł Kliber

Warianty tytułu

The Proof of the Fundamental Theorem of Financial Mathematics in a Model with a Countable Sample Space

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

W artykule zaprezentujemy pewien oryginalny dowód zasadniczego twierdzenia matematyki finansowej. Twierdzenie to ma wielkie znaczenie w nowoczesnej matematyce finansowej - przy probabilistycznym modelowaniu rynku finansowego oraz przy wycenie instrumentów pochodnych. Zasadnicze twierdzenie podaje opis modeli rynku, w których nie ma możliwości arbitrażu, czyli takich, na których inwestor nie może osiągać dowolnie dużych zysków bez ponoszenia ryzyka. W najczęściej spotykanej postaci twierdzenie mówi, że na rynku nie istnieje możliwość arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje pewna miara probabilistyczna, względem której zdyskontowane ceny akcji są martyngałami, czyli nie przejawiają systematycznej tendencji do ruchów w górę ani w dół. Twierdzenie ma zatem związek z teorią rynku efektywnego. Mówi bowiem, że przy braku możliwości arbitrażu inwestowanie na rynku można rozpatrywać jako grę sprawiedliwą. Twierdzenie ma także istotne znaczenie dla wyceny instrumentów pochodnych. Wynika bowiem z niego, że cenę instrumentu pochodnego można wyrazić jako wartość oczekiwaną jego wypłat, liczoną względem pewnej miary probabilistycznej. Zasada ta pozwala w pewnych wypadkach wyznaczać wzory na ceny instrumentów pochodnych, na przykład takie jak wzór Blacka-Scholesa, opisujący cenę opcji na akcję. W artykule przypomnimy niezbędne pojęcia stosowane w matematyce finansowej, sformułujemy model rynku papierów wartościowych, zdefiniujemy pojęcia arbitrażu, modelu bezarbitrażowego, jądra wymiany i równoważnej miary martyngałowej, sformułujemy i udowodnimy zasadnicze twierdzenie. (fragment tekstu)

EN

The article contains a new proof of the First Fundamental Theorem of Financial Mathematics for the models with countable sample space. The author shows that in such a models it is possible to construct the proof using only methods of functional analysis. It is shown that if the market model is arbitrage-free than one can construct matringale measure directly, using the separating hyperplane theorem and Riesz representation theorems for some spaces of sequences. (original abstract)

Słowa kluczowe

PL

Efektywność rynku; Rynek papierów wartościowych; Wycena instrumentów pochodnych; Matematyka finansowa; Teoria arbitrażu cenowego

EN

Market effectiveness; Securities market; Derivatives pricing; Financial mathematics; Arbitrage Pricing Theory (APT)

• Czasopismo: Zeszyty Naukowe / Akademia Ekonomiczna w Poznaniu
• Rocznik: 2004
• Numer: nr 41
• Strony: 240--257

Twórcy

autor

Paweł Kliber

• Akademia Ekonomiczna w Poznaniu

Bibliografia

• Bilingsley P., Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa 1987.
• Charalambos D.A., Border K.C., Infinite Dimensional Analysis, Springer Verlag, 1999.
• Cox J.C., Ross S.A., The Valuation of Options for Alternative stochastic Processes, Journal of Financial Economics vol. 3, 1976.
• Dalang R.C., Morton A., Willinger W., Equivalent Martingale Measures and No-arbitrage in Stochastic Securities Market Models, Stochastics and Stochastics Reports vol. 29, 1999.
• Elliott J.R., Kopp P.E., Mathematics of Financial Markets, Springer-Verlag, 1999.
• Fama E.F., The Behavior of Stock Market Prices, Journal of Business vol. 34, 1965.
• Harrison J.M., Kreps D.M., Martingales and Arbitrage in Multiperiod Securities Markets, Journal of Economics Theory vol. 20, 1979.
• Hunt P.J., Kennedy J.E., Financial Derivatives in Theory and Practice, John Willey and Sons, Ltd. 2000.
• Jacod J., Shiryaev N.A., Local Martingales and the Fundamental Asset Pricing Theorems in Discrete-time Case, Finance and Stochastics vol. 3, 1998.
• Jakubowski J., Sztencel R., Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, SCRIPT, 2001.
• Kuratowski K., Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa 1977.
• Musiela M., Rutkowski M., Martingale Methods in Financial Modelling, Springer-Verlag, 1998.
• Musielak J., Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976.
• Pliska S.R., Introduction to Mathematical Finance, Blackwell Publ., 1997.
• Rogers L.C.G., Equivalent Martingale Measures and No-arbitrage, Stochastics and Stochastics Reports vol. 51, 1994.
• Rudin W., Analiza funkcjonalna, WN PWN, Warszawa 2001.
• Schachermayer W., A Hilbert-space Proof of the Fundamental Theorem of Asset Pricing, Insurance Mathematical Economics vol. 11, 1992.
• Shiryaev A.N., Probability, Springer-Verlag, 1984.
• Shiryaev A.N., Essentials of Stochastic Finance, World Scientific Publ., 1999.
• Weron A., Weron R., Inżynieria finansowa, WNT, Warszawa 1998.