Równanie logistyczne a błądzenie losowe na prostej i prawo arcusa sinusa

• Autorzy: Henryk Zawadzki

Warianty tytułu

Logistic Equation and a Line Random Walk Process and Arcus Sinus Rule

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

Obserwując "typowe" trajektorie generowane przez chaotyczne systemy dynamiczne, nawet te teoretycznie najprostsze - jednowymiarowe z czasem dyskretnym, można odnieść wrażenie, że ma się do czynienia z trajektoriami procesów stochastycznych. Dopiero diagramy korelacyjne, a dla systemów wielowymiarowych wyspecjalizowane testy i narzędzia, jak np. wymiar korelacyjny czy wykładniki Lapunowa, pozwalają - i to też nie zawsze - odróżnić deterministyczny chaos od losowości. Nie jest to jednak niczym zaskakującym, jeśli weźmie się pod uwagę to, iż asymptotyczne zachowanie się pewnych charakterystyk procesów losowych i deterministycznych jest opisane za pomocą tych samych rozkładów prawdopodobieństwa. W opracowaniu przedstawiono jeden z takich przypadków, pokazujący, co wspólnego ma nieskończony ciąg losowych doświadczeń wykonywanych według schematu Bemoulliego oraz związany z nim proces błądzenia losowego na prostej z zachowaniem się prawie wszystkich trajektorii generowanych przez system dynamiczny (X, f), w którym X = [0, 1], f : X -> X, f(x) = 4x(l-x), lub - co na jedno wychodzi - z asymptotycznym zachowaniem się rozwiązań równania rekurencyjnego (3), zwanego równaniem logistycznym. (fragment tekstu)

EN

It is often difficult to distinguish between typical trajectories generated by chaotic dynamical systems and trajectories of stochastic processes. Asymptotic behaviour of some characteristics of the deterministic (chaotic) systems and random processes are sometimes the same random distributions. In this article we have described an example showing what one of the basic models of probability theory has in common, namely - random walk process with behaviour of almost all trajectories of one-dimensional chaotic, logistic map.(original abstract)

Słowa kluczowe

PL

System dynamiczny; Analiza procesów losowych; Procesy stochastyczne; Chaos deterministyczny

EN

Dynamic system; Analysis of random processes; Stochastic processes; Deterministic chaos

• Czasopismo: Studia Ekonomiczne / Akademia Ekonomiczna w Katowicach
• Rocznik: 2005
• Numer: nr 36 Zastosowania metod matematycznych w ekonomii i zarządzaniu
• Strony: 217--225

Twórcy

autor

Henryk Zawadzki

• Akademia Ekonomiczna im. Karola Adamieckiego w Katowicach

Bibliografia

• Falconer K.: Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, Chichester-New York 1997.
• Feller W.: Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. T. I. PWN, Warszawa 1966.
• Hunt B.R., Kennedy J.A., Li T.Y., Nusse H.E.: SLYRB Measures: Natural Invariant Measures for Chaotic Systems. "Physica D" 2002, 170.
• Lasota A., Mackey M.C.: Chaos, Fractals and Noise. Stochastic Aspects of Dynamics. Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg 1994.
• May R.M.: Simple Mathematical Models with very Complicated Dynamics. "Nature" 1976, Vol. 261.
• Rechard O.W.: Invariant Measures for many-one Transformations. "Duke Mathematical Journal" 1956, No 23.
• Smale S.: Mathematical Problems for the Next Century. "Mathematical Intelligencer 20" 1998, No 2.
• Sprott J.C.: Chaos and Time-Series Analysis. Oxford University Press Inc., New York 2003.
• Tapiero Ch.S.: Applied Stochastic Models and Control for Finance and Insurance. Kluwer Academic Publishers, Boston-Dordrecht-London 1998.
• Tucker W.: A Rigourous ODE Solver and Smale's 14,h Problem. "Foundations of Computational Mathematics" 2002, No 2.
• Ulam St.M, von Neumann J.: On Combination of Stochastic and Deterministic Processes. "Bulletin of the American Mathematical Society" 1947, Vol. 53.
• Weron A., Weron R.: Inżynieria finansowa. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1998.
• Zawadzki H.: Chaotyczne systemy dynamiczne. Elementy teorii i wybrane systemy dynamiczne. AE, Katowice 1996.