Regularność "idealnej losowości"

• Autorzy: Wojciech Rybicki

Warianty tytułu

The Regularity of "Ideal Randomness"

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

W niniejszej pracy będziemy rozważać kwestie relatywizmu pojęcia "właściwej losowości". Matematycznymi modelami kształtowania się wielkości cech w populacjach statystycznych, mechanizmów generujących wyniki eksperymentów myślowych, polegających na "losowaniach" punktów z podzbiorów przestrzeni euklidesowych, a także całe przebiegi (ciągi, funkcje) dynamicznych procesów losowych są, jak wiadomo, miary unormowane określone na odpowiednich przestrzeniach. Są to rozkłady badanych cech, zmiennych losowych oraz - ogólniej - elementów losowych w przestrzeniach realizacji danych zjawisk. (...)Po wprowadzeniu w problematykę modelowania dobrej losowości podamy najważniejsze informacje o rozkładach nieskończenie podzielnych na prostej. Następnie przytoczymy określenie i podstawowe własności procesów Levy'ego oraz miar losowych. W ostatnim fragmencie pracy zajmiemy się wprowadzoną przez T. Fergusona klasą nieparametrycznych rozkładów a priori na rodzinach miar probabilistycznych, czyli tzw. procesami Fergusona-Dirichleta, kontrastując ją z "konkurencyjnymi" nieparametrycznymi miarami a priori, zaproponowanymi przez Ch. Kra-fta oraz L. Dubinsa i D. Freedmana. (fragment tekstu)

EN

In this paper the problems concerning relativity of the notion of "proper randomness" are considered. We shall list some ways of heuristic motivation leading to various mathematical models, i.e. probability measures on suitable spaces. The intuition of "equal chances" can be easily formalized in the case of Unite sets of alternatives - as systems of equiprobable events. This classic approach admits natural generalizations for closed intervals on the real line as a uniform distribution (in multidimensional case - for cubes - as a normed Lebesgue measure, and -most generally- as Haar measure on compact subsets of topological vector spaces). However, such methodology no longer holds for more complicated and "large" spaces of events. Two classic ideas seems to be prevailing in a wide class of situations: streams of perfectly random scattered points on the line and reasoning in spirit of the central limit theorem. Consequently: the most important and popular formal generators of the "pure" stochastic behavior turn out two classes of (exponential kind) distributions. These are: Poisson (discrete) measure on non-negative integers (paired with its natural dual continuous- exponential, obeying characteristic property "a lack of memory") and Gaussian probability measurers (on the reals and more general spaces). In the article we discuss the natural generalization of above distributions - infinitely divisible probability measures. This class of distributions plays a crucial role in formal modeling of space-time randomness - one can treat it as a benchmark for such phenomena. On the higher level of generality the so called completely random measures are investigated. In this context we mention two important classes of models: Levy random measures and Dirichlet-Ferguson measures (both of them can be defined as stochastic processes). The final conclusions are of two-fold character:
(i) tending to create a satisfactory picture of "ideal randomness" mathematicians obtained (rather unexpectably) "tempered and smooth" models, which - paradoxically - provide very rigorous formal restrictions on admissible functional apparatus;
(ii) there are infinitely many "kinds of perfect randomness" - depending on presupposed formal properties) which, in turn, reflect behavioral postulates concerning analyzed phenomena (or their known real properties). (original abstract)

Słowa kluczowe

PL

Statystyka

EN

Statistics

• Czasopismo: Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu
• Rocznik: 2004
• Numer: nr 1026 Statystyka w obliczu problemów współczesności
• Strony: 128--149

Twórcy

autor

Wojciech Rybicki

Bibliografia

• Billingsley P. (1968), Convergence of Probability Measures, Wiley, New York.
• Blackwell D. (1973), Discretness of Ferguson Selections, "The Annals of Statistics" vol. 1, s. 356-358.
• Chinczyn A.J. (1963), Rabotypo matematiczeskoj teorii mascrwogo obsłużiwanija, G.I.F.-M.L., Moskwa.
• Connor R.J., Mosimann J.E. (1969), Concepts of Independence for Proportions with a Generalization of the Dirichlet Distribution, "Jorunal of the American Statistical Association" vol. 64, s. 194-206.
• Darroch J.N., Ratcliff D. (1971), A Characterization of the Dirichlet Distribution, "Journal of the American Statistical Association" vol. 66, s. 641-643.
• DeGroot M. (1981), Optymalne decyzje statystyczne, PWN, Warszawa.
• Dubins L., Freedman D. (1966), Random Distribution Functions, "Proc. Fifth Berkeley Symp. Math. Statist. Prob." vol. 2, s. 183-214.
• Embrechts P., Schmidli H. (1994), Modelling of Extremal Events in Insurance and Finance, "ZOR - Math. Methods Oper. Research" 39, s. 1-34.
• Feller W. (1966), Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. 1, PWN, Warszawa.
• Feller W. (1969), Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. 2, PWN, Warszawa.
• Ferguson T.S. (1967), Mathematical Statistics. A Decision Theoretic Approach, Academic Press, New York.
• Ferguson T.S. (1973), A Beyesian Analysis of Some Nonparametric Problems, "The Annals of Statistics" vol. 1, s. 209-230.
• Ferguson T.S. (1974), Prior Distributions on Spaces of Probability Measures, "The Annals of Statistics" vol. 2, s. 615-629.
• Fisz M. (1967), Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa.
• Gichman I.I., Skorochod A.W. (1968), Wstęp do teorii procesów stochastycznych, PWN, Warszawa.
• Grandeil J. (1976), Doubly Stochastic Poisson Processes, Berlin-Haidelberg-New York.
• Greń J. (1972), Gry statystyczne i ich zastosowania, PWN, Warszawa.
• Haimos P. (1952), Measure Theory, John Wiley, New York.
• Kingman J.F.C. (1964), Completly Completely Random Measures, "Zeitschrifts für Wahrscheinlichkeitstheorie" nr 5.
• Kraft Ch. (1964), A Class of Distribution Function Processes which Have Derivatives, "J. Appl. Probability" vol. 1, s. 385-388.
• Kullback S. (1967), Teoria informacji i statistika, Nauka, Moskwa.
• Kwapień S., Woyczyński W.A. (1992), Random Series and Stochastic Integrals - Single and Multiple, Springer, New York.
• Loeve M. (1960), Probability Theory. New Jersey, D. Van Nostrand Co, Princeton.
• Modele aktuarialne (2000), red. W. Ostasiewicz, AE, Wrocław.
• Panjer H.H. (1986), Models in Risk Theory, "Proceedings of Symposia in Applied Mathematics" vol. 35. American Math. Society, New York.
• Panjer H.H., Willmot C.E., Compound Poisson Models in Actuarial Risk Theory, "Journal of Econometrics" 1983 vol. 23, s. 63-76.
• Raiffa H. (1968), Decision Analysis, Addison-Wesley P.C., London.
• Renyi A. (1970), Probability Theory, North-Holland, Amsterdam.
• Resnick S. (1990), Adventures in Stochastic Processes, Birkhäuser, Boston-Basel-Berlin.
• Rolski Т., Szekli R. (1991), Stochastic Ordering and Thinning of Point Processes, "Stochastic Processes and their Applications" 37, s. 299-312.
• Sato K.-I. (1999), Levy Processes and Infinitely Divisible Distributions, Cambridge University Press, Cambridge.
• Serfozo R.F. (1990), Point Processes, [w:] Stochastic Models. Handbooks in OR & MS, vol. 2, Elsevier Science Publishers B.V., Amsterdam (North Holland).
• Szirjajew A.N., Jacod J. (1987), Limit Theorems for Stochastic Processes, Berlin-Heidelberg-New York-London-Paris-Tokyo.
• Trybula S. (1958), O minimaksowej estymacji parametrów w rozkładzie wielomianowym, "Zastosowania Matematyki".
• Urbanik K. (1964), Lectures on Prediction Theory, Lecture Notes, Springer, Berlin.
• Wilks S.S. (1962), Mathematical Statistics, Wiley, New York.