Wartość oczekiwana uogólnionej zmiennej losowej

• Autorzy: Stanisław Heilpern

Warianty tytułu

Expected Value of a Generalized Random Variable

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

Praca poświęcona jest różnym metodom określania wartości oczekiwanej uogólnionej zmiennej losowej. Zmienna losowa jest rozpatrywana w pracy w przypadku ogólnym, gdy na przestrzeni zdarzeń elementarnych określona jest monotoniczna funkcja zbioru, która nie musi być addytywna. Tego typu funkcje zbioru wykorzystywane są między innymi w zagadnieniach decyzyjnych i ubezpieczeniach. Wartość oczekiwaną zmiennej losowej względem monotonicznej funkcji zbioru możemy określić na trzy sposoby: jako całkę Choquet'a, jako całkę symetryczną lub jako wartość oczekiwaną zmiennej względem rodziny miar probabilistycznych generowanej przez tę funkcję zbioru. Wszystkie wymienione podejścia są prostym uogólnieniem wartości oczekiwanej względem addytywnej funkcji zbioru. W punkcie 2 pracy przypomniana została definicja oraz podstawowe własności wartości oczekiwanej klasycznej zmiennej losowej. Ponadto zaprezentowano interpretację geometryczną wartości oczekiwanej. Wartość oczekiwana zmiennej losowej wyznaczona za pomocą całki Choquet'a względem monotonicznej funkcji zbioru stanowi treść punktu 3. Przedstawiony został też przypadek, gdy monotoniczna funkcja zbioru jest zniekształconym prawdopodobieństwem oraz omówiono wartość oczekiwaną względem rodziny miar probabilistycznych opartą na dolnych i górnych prawdopodobieństwach. Punkt 4 jest poświęcony wartości oczekiwanej opartej na całce symetrycznej względem monotonicznej funkcji zbioru. Podana została też interpretacja geometryczna wcześniej omawianych przypadków. Zastosowania wartości oczekiwanych uogólnionych zmiennych losowych w problemach podejmowania decyzji są przedstawione w punkcie 5. (fragment tekstu)

EN

The methods of determination of the expected values of random variables defined on the space of elementary events with the monotonic, not only additive set function are discussed. The expected values of such random variables are determined as Choquet integral and as the symmetric integral with respect to monotonic set function. These are the generalization of the classical expected value taking account the additive probability measure. The case when the monotonic set function is equal the distortion of probability is studied and the expected value of random variable with respect to the family of probability measures is discussed. The geometric interpretation of the above problems and the application of the generalization of the expected values in the decision making problems are presented. (original abstract)

Słowa kluczowe

PL

Zmienne losowe; Prawdopodobieństwo; Podejmowanie decyzji; Całka Choqueta

EN

Random variable; Probability; Decision making; Choquet integral

• Czasopismo: Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu
• Rocznik: 2004
• Numer: nr 1036 Zastosowania statystyki i matematyki w ekonomii
• Strony: 224--238

Twórcy

autor

Stanisław Heilpern

• Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu

Bibliografia

• Billingsley P., Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa 1987.
• Denneberg D., Lectures on Non-Additive Measure and Integral, Kluwer Academic, Boston 1994.
• Grabisch M., Nguyen H.T., Walker E.A., Fundamentals of Uncertainty Calculi with Application to Fuzzy Inference. Kluwer Academic, Dortrecht 1995.
• Heilpem S., Dynamika i niepewność w modelowaniu ekonomicznym, AE, Wrocław 1998.
• Heilpem S., Using Choquet Integral in Economics, "Statistical Papers" nr 43 (2002).
• Heilpem S., A Rank-dependent Generalization of Zero Utility Principle, "Insurance: Mathematics and Economics" nr 33, 2003.
• Puppe C., Distorted Probabilities and Choice under Risk, Springer-Verlag, Berlin 1991.
• Quiggin J., A Theory of Anticipated Utility, "Journal of Economic Behavior and Organization" nr 3 (1982).
• Tversky A., Kahneman D" Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty, "Journal of Risk and Uncertainty" nr 5, 1992.
• Von Neuman J., Morgenstern О., Theory of Games and Economic Behavior, Priceton University Press 1944.
• Wang S.S., Premium Calculation by Transforming the Layer Premium Density. "ASTIN Bulletin" nr 26, 1996.