Niektóre modele matematyki ubezpieczeniowej i finansowej

• Autorzy: Wojciech Rybicki , Jacek Juzwiszyn

Warianty tytułu

Some Models from the Area of the Actuarial and Financial Mathematics

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

W artykule przedstawiono kilka stochastycznych modeli dynamiki ubezpieczeń i finansów oraz model deterministyczny - spiralnej dynamiki rynków finansowych. Wyróżnioną pozycję zajmują - z naturalnych powodów - procesy punktowe (losowe) oraz martyngały. Od dawna panuje konsensus w kwestii stochastycznej natury zjawisk przyrodniczych i ekonomicznych (przynajmniej w sferze modelowej). Z drugiej strony nonsensowne byłoby ignorowanie podstawowych, zweryfikowanych po wielokroć, zależności ekonomicznych i wymyślania ad hoc "nowych praw ekonomii" (na podstawie odpowiednio skompilowanych kolekcji danych). Interesujące jest natomiast to stadium badań, w którym rozważa się różne warianty tzw. rozsądnej formalizacji ewoluujących, nie rozpoznanych jeszcze do końca zjawisk (być może - z natury - efemerycznych).
Być może rolę "łącznika" między prezentowanymi ujęciami spełnia model racjonalnych oczekiwań Mutha-Lucasa. W tej adaptacyjnej procedurze prognostycznej (w martyngałowym "procesie prognoz") przyjęto bowiem pierwotnie - jako punkt wyjścia - układ klasycznych zależności między podstawowymi zmiennymi ekonomicznymi à la Walras (cena, podaż, popyt). (fragment tekstu)

EN

In the paper some formal models concerning dynamics of economic phenomena are considered. First of all we discuss random processes appearing in theoretical investigations of insurance and financial practical ("real") problems. We also consider some deterministic "rules of motion" known from economic theory. A slight modification of classic economic relations enables us to describe in new fashion fluctuations of crucial quantities characterizing financial markets.
We begin with discussing Poisson processes, Cox processes and their generalizations such as so called doubly stochastic processes. These processes play an important role in the insurance as well as in the financial mathematics (processes of calls with random intensity , randomized operational time, subordinated processes). Next we consider martingales as a models of "fair stochastic dynamics". At the same time we reveal (and report) their applications in insurance and finance. The final part of the article is devoted to microeconomic analysis of financial market (in deterministic setting - as mentioned above). We propose to use so called three dimensional spiral model of behavior of financial markets. It seems to generalize a classical cobweb model and logarithmic spiral on the plane as well as famous Elliot waves. This hypothesis has been formulated on the basis of time series analysis joined with computer simulations. (original abstract)

Słowa kluczowe

PL

Matematyka ubezpieczeniowa; Matematyka finansowa; Procesy stochastyczne

EN

Insurance mathematics; Financial mathematics; Stochastic processes

• Czasopismo: Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu
• Rocznik: 2006
• Numer: nr 1140 Praktyka statystyki
• Strony: 55--86

Twórcy

autor

Wojciech Rybicki

• Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu

autor

Jacek Juzwiszyn

• Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu

Bibliografia

• Arnold W., Metody matematyczne mechaniki klasycznej, PWN, Warszawa 1981.
• Arnold W., Teoria równań różniczkowych, PWN, Warszawa 1983.
• Bachelier L., Theory of Speculation, [w:] The Random Character of Stock Market Prices, red. P.H. Cootner in 1967, MIT Press, Massachusetts, Cambridge 1900.
• Bandorff-Nielsen O., Negative Binomial Processes, "Journal of Applied Probability" 1969 vol. 6, s. 633-647.
• Bochner S., Harmonic Analysis and the Theory of Probability, California University Press, Berkeley and Los Angeles 1953.
• Bojdecki T., Martyngały z czasem dyskretnym, Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa 1976.
• Carolan C., Kalendarz spiralny, WIG Press, Warszawa 1996.
• Chow Y.S., Robbins H., Siegmund D., Great Expectations: The Theory of Optimal Stopping, Houghton Miffling Co., Boston-New York 1971.
• Clark P.K., A Subordinated Stochastic Process Model with Finite Variance for Speculative Prices, "Econometrica" 1973 vol. 41, s. 135-155.
• Dassios A., Embrechts P., Martingales and Insurance Risk, "Communications in Statistics - Stochastic Models" 1989 vol. 5, s. 181-217.
• Davis M.H.A., Piecewise - Deterministic Markov Processes: a General Class of Nondiffusion Stochastic Models, "Journal of the Royal Statistical Society" Series B, 1984 vol. 46, s. 353-388.
• Doob J.L., Stochastic Processes, Wiley and Sons, New York 1954.
• Doob J.L., What is a Martingale? "American Mathematical Monthly" 1971 vol. 76, s. 451-463.
• Drwal G., Grzymkowski R., Kapusta Z., Słota D., Mathematica 3.0/2.2, Wydawnictwo Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice 1998.
• Elliott R., The Wave Principle, Financial World, New York 1939.
• Embrechts P., Schmidli H., Modelling of Extremal Events in Insurance arid Finance, Zürich Operational Research - Mathematical Methods Operational Research, vol. 39, Zürich 1994, s. 1-34.
• Fama E., Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work, "Journal of Finance" 1970 vol. 25, s. 384-418.
• Feller W., Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. T. 2, PWN, Warszawa 1969.
• Fischer R., Liczby Fibonacciego na giełdzie, WIG Press, Warszawa 1996.
• Forst A., Prechter R., Teoria fal Elliotta, WIG Press, Warszawa 1995.
• Frisch U., Turbulence, University Press, Cambridge 1995.
• Gerber H., Games of Survival with Discrete and Continuous - Income Processes, Zürich Operation Researches, vol. 20, 1972, s. 37-45.
• Gerber H., Martingales in Risk Theory, "Mitteilungen der Schweizerischen Vereinigung der Verscherungsmathematiker" 1973 vol. 73, s. 205-216.
• Gerber H., An Introduction to Mathematical Risk Theory, Huebner Foundation for Insurance Education, Philadelphia 1979.
• Ghyka M., Złota liczba, Universitas, Kraków 2001.
• Gichman I.I., Skorochod A.W., Wstęp do teorii procesów stochastycznych, PWN, Warszawa 1968.
• Grandell J., Doubly Stochastic Poisson Processes, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1976.
• Harrison M., Ruin Problems with Compounding Assets, "Journal of Stochastic Processes and their Applications" 1977 vol. 5, s. 67-79.
• Hiai F., Tsukada M., Strong Martingale Convergence of Generalized Conditional Expectations on von Neuman Algebras, "Transactions of the American Mathematical Society" 1984 vol. 282, s. 791-799.
• Hiai F., Umegaki H., Integrals, Conditional Expectations and Martingales of Multivalued Functions, "Journal of Multivariable Analysis" 1977 vol. 7, s. 149-182.
• Jajuga K., Jajuga T., Inwestycje. Instrumenty finansowe, ryzyko finansowe, inżynieria finansowa, PWN, Warszawa 1996.
• Janicki A., Weron A., Simulation and Chaotic Behavior of astable Stochastic Processes, Marcel Dekker, Inc., New York 1994.
• Juzwiszyn J., Ekonometryczna istota fal Elliotta, Wyd. AE, Wrocław 1999.
• Juzwiszyn J., O obrotach sfer finansowych, "Ekonomia Matematyczna" 2001 nr 5.
• Karandikar R.L., Rachev S.T., A Generalized Binomial Model and Option Pricing Formulae for Subordinated Stock-price Processes, "Probability and Mathematical Statistics" 1995 vol. 15, s. 427-447.
• Kingman.I.F.C., On Double Stochastic Poisson Processes, Proc. Camb. Phil. Soc. 1964 nr 60, s. 923-930, Cambridge 1964.
• Klimczak В., Mikroekonomia, Wyd. AE, Wrocław 1998.
• LeRoy S.F., Efficient Capital Markets and Martingales, "Journal of Economic Literature" 1989 vol. 27, s. 1583-1621.
• Lucas R.E., Expectations and the Neutrality of Money, "Journal of Economic Theory" 1972 vol. 4, s. 105-124.
• Lundberg F., Approximerad Framställning of Sanolikhetsfunktionen. Återförsäkring of Kollektivrisker, Akademisk afhandling, Uppsala 1903.
• Łyko J., Równowaga rynków finansowych, "Ekonomia Matematyczna" 1999 nr 3.
• Mantegna R., Stanley H., Turbulence and Financial Markets, Nature, Cambridge 1996.
• Mantegna R., Stanley H., Stock Market Dynamics and Turbulence, Physica, Cambridge 1997.
• Mantegna R., Stanley H., Ekonofizyka - wprowadzenie, PWN, Warszawa 2001.
• Mayer P.A., Wierojatnosti i potencjały, MIR, Moskwa 1973.
• Murphy J., Analiza techniczna, WIG Press, Warszawa 1995.
• Musiela M., Rutkowski M., Martingale Methods in Financial Modelling, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1997.
• Muth J., Rational Expectations and the Theory of Price Movements, "Econometrica" 1961 vol. 25, s. 315-335.
• Nerlove M., Adaptive Expectations and Cobweb Phenomena, "Quarterly Journal of Economics" 1958 vol. 73, s. 227-240.
• Panek E., Ekonomia matematyczna, Wyd. AE, Poznań 2000.
• Panjer H.H., Models in Risk Theory, Proceedings of Symposia in Applied Mathematics vol. 35, American Math. Society, New York 1986.
• Plummer U., Psychologia rynków finansowych u źródeł analizy technicznej, WIG Press, Warszawa 1995.
• Revuz D., Yor M., Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1998.
• Robbins H., The Empirical Bayes Approach to Statistics, Proc. of the Third Berkeley Symp. on Math. Statistics and Probability vol. I, s. 157-164, University of California Press, Berkeley 1956.
• Rolski T., Schmidli H., Schmidt V., Teugels J., Stochastic Processes for Insurance and Finance, Chichester-New York-Weinheim-Brisbane-Singapore-Toronto 1998.
• Rybicki W., Martyngały matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, "Ekonomia Matematyczna" 1998 nr 1.
• Rybicki W., Procesy stochastyczne w matematyce ubezpieczeniowej, "Przegląd Statystyczny" 1995 tn-42, s. 237-247.
• Rybicki W., Matematyczne modele dynamiki ryzyka, [w:] Modele aktuarialne, red. W. Ostasiewicz, Wyd. AE, Wrocław 2000.
• Sato K.-I., Levy Processes and Infinitely Divisible Distributions, University Press, Cambridge 1999.
• Scalora F., Abstract Martingale Convergence Theorems, "Pacific Journal Mathematics" 1961 nr 11, s. 347-374.
• Serfozo R.F., Conditonal Poisson Processes, "Journal of Applied Probability" 1972 vol. 9, s. 288-302.
• Serfozo R.F., Processes with Conditional Stationary Independent Increments, "Journal of Applied Probability" 1972 vol. 9, s. 303-315.
• Serfozo R.F., Point Processes, [w:] Stochastic Models. Handbooks in OR & MS. Vol. 2, Elsevier Science Publishers B.V. (North Holland), Amsterdam 1990.
• Sikorski R., Funkcje rzeczywiste. T. 1, PWN, Warszawa 1958.
• Smoluk A., Zamorski J., Współczynnikowe warunki ekstremalności uogólnionych funkcji spiralnych. "Roczniki PTM", Seria I, Prace Matematyczne, Warszawa 1962.
• Smoluk A., Uwagi o równowadze, "Ekonomia Matematyczna" 2001 nr 5.
• Szirjajew A.N., Jacod J., Limit Theorems for Stochastic Processes, Berlin-Heidelberg-New York- London-Paris-Tokyo 1987.
• Szirjajew A.N., Kabanow J.M., Kramkow D.O., Mielników A.W., K teorii rasczotow opcjonow ewropejskogo i amerikanskogo tipow. I Diskretnoje wremija. "Teoria wserojatnostiej i jejo primienienija" 1994 vol. 39, s. 23-79.
• Szulga J., Regularity of Banach Lattice Valued Martingales, "Colloquium Mathematicum" 1979 vol. 41, s. 303-312.
• Taylor H., Martingales and Random Walks, [w:] Stochastic Models. Handbooks in OR & M.S. Vol. 2. Elsevier Science Publishers B.V. (North-Holland), Amsterdam 1990.
• Varian H., Mikroekonomia, PWN, Warszawa1997.
• Walras L., Elements of Pure Economics, George Allen and Unwin, London 1954.
• Weron A., Weron R., Inżynieria finansowa, NT, Warszawa 1997.