Własności łańcucha prostej odnowy grupowo-jednorodnej

• Autorzy: Maria Podgórska

Warianty tytułu

Properties of the Chain of Simple Group-Homogenous Replacement

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

Aby wyznaczyć prognozę struktury zbiorowości grupowo-jednorodnej po długim przebiegu procesu prostej odnowy w tej zbiorowości, zbadamy graniczne, tj. przy n→∞ własności tego łańcucha. W punkcie 2 sformułujemy dwa twierdzenia dotyczące rozpatrywanego łańcuchu odnowy {Y_n ϵ N₀}. Pierwsze z nich określa warunek konieczny i dostateczny na to, by ten łańcuch był ergodyczny w sensie Cesaro. W drugim twierdzeniu podajemy warunek konieczny i dostateczny na to, by był to łańcuch nieprzywiedlny. Przy badaniu własności łańcucha zastosujemy podejście algebraiczne (¹), tzn. nie będziemy klasyfikować stanów fazowych przestrzeni Z, lecz zbadamy algebraiczne własności macierzy przejścia P łańcucha Y_n. Wcześniej jednak, w punkcie 1, udowodnimy dwa lematy dotyczące rozwiązania trzech układów równań macierzowych. Pierwszy z nich, oznaczony numerem I, jest znany w teorii łańcuchów Markowa, jako że służy tam do wyznaczania rozkładów stacjonarnych łańcucha o danej macierzy przejścia. Analiza rozwiązania układu I jest pomocna do stwierdzenia, czy i jakie rozwiązania mają układy II i III. Układy równań I i II wykorzystywane są przy dowodzeniu zapowiedzianych wyżej twierdzeń, a układ III przy agregacji łańcuchu (por. [9]). (fragment tekstu)

EN

The finite homogenous Markov Chain in two-dimentional space of States is the model of the discrete-time process of replacement. (The State of any object is described by two characteristics: age, and set of which the object is an element). In theorem 1 the necessary and sufficient conditions are given for a chain to be an ergodic one in the Cesaro sense, and in theorem 2 the conditions are given for a chain to be an irreducible one. In the paper, there are also presented some instructions concerning examination the properties of the chains and some conclusions concerning the long-term prediction of the structure of a given set of technical objects. Two lemmas proved in the paper characterize the Solutions of three Systems of matrix equations useful for investigation the limit properties of the chains. (original abstract)

Słowa kluczowe

PL

Łańcuch Markowa; Macierze; Modele stochastyczne; Statystyka

EN

Markov chain; Matrix; Stochastic models; Statistics

• Czasopismo: Przegląd Statystyczny
• Rocznik: 1985
• Tom: 32
• Numer: z. 2
• Strony: 125--136

Twórcy

autor

Maria Podgórska

Bibliografia

• [1] Doob J. L., Stochastic processes, New York 1953.
• [2] Fréchet M., Recherches theoriques modernes sur la calcul des probabilites, tom 2, Paris 1952.
• [3] Gantmacher F. R., The theory of matrices, tom 2, New York 1959.
• [4] Koźniewska I., Efektywne wyznaczanie rozkładu granicznego dla procesu Markowa o skończonej, przestrzeni fazowej, Przegląd Statystyczny, 3/4 (1981), s. 145 - 156.
• [5] Koźniewska I., Równania rekurencyjne, Warszawa 1972.
• [6] Koźniewska I., Włodarczyk M., Modele odnowy, niezawodności i masowej obsługi, Warszawa 1978.
• [7] Lancaster P., Theory of matrices, New York 1969.
• [8] Seneta E., Non-negative matrices and Markov chains, New York 1981.
• [9] Podgórska M., Agregacja łańcucha prostej odnowy grupowo-jednorodnej, Przegląd Statystyczny (w druku).
• [10] Podgórska M., Model prostej odnowy grupowo-jednorodnej, Przegląd Statystyczny 1 (1985), s. 49-61.