Czy kurtoza mierzy spiczastość rozkładu?

• Autorzy: Błażej Kochański

Warianty tytułu

Does Kurtosis Measure the Peakedness of a Distribution?

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

Celem artykułu jest przedstawienie i uzasadnienie interpretacji klasycznego współczynnika kurtozy jako miary grubości ogonów oraz zaproponowanie modyfikacji treści dydaktycznych w tym zakresie. W wielu polskich podręcznikach akademickich podaje się, że współczynnik kurtozy (lub ekscesu) mierzy "wysmukłość", "spiczastość" lub "spłaszczenie" rozkładu. Taka interpretacja jest nieprawidłowa. Kurtoza mierzy bowiem w istocie stopień rozproszenia wartości cechy w ogonach rozkładu lub - innymi słowy - intensywność wartości skrajnych. W artykule wskazano, dlaczego starsze interpretacje, mówiące o kształcie wierzchołka krzywej gęstości, są niewłaściwe. Zaprezentowano przykładowe leptokurtyczne rozkłady spłaszczone i platykurtyczne rozkłady wysmukłe. Na podstawie danych z Diagnozy Społecznej z lat 2000-2015 wykazano, że w badaniach empirycznych wartość kurtozy wynika ze stopnia natężenia wartości odstających. Zaproponowano nowe sformułowania, które można wykorzystać w dydaktyce statystyki zamiast nieprawidłowych, stosowanych dotychczas. (abstrakt oryginalny)

EN

The aim of the article is to present and justify the interpretation of the classical kurtosis as a measure of fat-tailedness and to propose modifications in the relevant didactic content. Many Polish academic textbooks describe kurtosis (or excess kurtosis) as a measure of the 'slenderness', 'peakedness' or 'flat-toppedness' of a distribution. This interpretation is incorrect. Kurtosis in fact measures the level of the dispersion of the values in the tails of the distribution or, in other words, the intensity of the extreme values. The article illustrates why the older interpretations which refer to the shape of the peak of the probability density function are incorrect. The study provides examples of leptokurtic flat-topped distributions and platykurtic peaked distributions. Using data from the 2000-2015 Social Diagnosis, the paper demonstrates that in empirical studies, the value of the kurtosis results from the level of the extremity of the outliers. New formulations are proposed which could replace the current, incorrect ones in statistical didactics. (original abstract)

Słowa kluczowe

PL

Kurtoza; Rozkłady normalne; Funkcja gęstości

EN

Kurtosis; Normal distribution; Density function

• Czasopismo: Wiadomości Statystyczne
• Rocznik: 2022
• Numer: nr 11
• Strony: 43--61

Twórcy

autor

Błażej Kochański

• Politechnika Gdańska

Bibliografia

• Aczel, A. D., Sounderpandian, J. (2018). Statystyka w zarządzaniu. Wydawnictwo Naukowe PWN.
• Campbell, J. Y., Lo, A. W., MacKinlay, A. C. (1997). The Econometrics of Financial Markets. Princeton University Press.
• Daníelsson, J., Jorgensen, B. N., Samorodnitsky, G., Sarma, M., de Vries, C. G. (2013). Fat tails, VaR and subadditivity. Journal of Econometrics, 172(2), 283-291. https://doi.org/10.1016/j.jeconom.2012.08.011.
• Dębski, W. (2014). Rynek finansowy i jego mechanizmy. Podstawy teorii i praktyki. Wydawnictwo Naukowe PWN.
• Fiori, A. M., Zenga, M. (2009). Karl Pearson and the Origin of Kurtosis. International Statistical Review, 77(1), 40-50. https://doi.org/10.1111/j.1751-5823.2009.00076.x.
• Górecki, B. R. (2013). Ekonometria. Podstawy teorii i praktyki. Wydawnictwo Key Text.
• Hogg, R. V. (1974). Adaptive Robust Procedures: A Partial Review and Some Suggestions for Future Applications and Theory. Journal of the American Statistical Association, 69(348), 909- 923. https://doi.org/10.2307/2286160.
• Hogg, R. V., Lenth, R. V. (1984). A review of some adaptive statistical techniques. Communications in Statistics - Theory and Methods, 13(13), 1551-1579. https://doi.org/10.1080/03610928408828779.
• Horn, P. S. (1983). A Measure for Peakedness. The American Statistician, 37(1), 55-56. https://doi.org/10.1080/00031305.1983.10483090.
• Joanes, D. N., Gill, C. A. (1998). Comparing measures of sample skewness and kurtosis. Journal of the Royal Statistical Society: Series D (The Statistician), 47(1), 183-189. https://doi.org/10.1111/1467-9884.00122.
• Kaplansky, I. (1945). A common error concerning kurtosis. Journal of the American Statistical Association, 40(230), 259-259. https://doi.org/10.2307/2280139.
• Kurtosis: Difference between revisions. (2019, 6 grudnia). W: Wikipedia. https://en.wikipedia.org/w/index.php?diff=929535964&oldid=928282329&title=Kurtosis&type=revision.
• Livesey, J. H. (2007). Kurtosis provides a good omnibus test for outliers in small samples. Clinical Biochemistry, 40(13-14), 1032-1036. https://doi.org/10.1016/j.clinbiochem.2007.04.003.
• Maksimowicz-Ajchel, A. (2007). Wstęp do statystyki. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego. https://doi.org/10.31338/uw.9788323527909.
• Mandelbrot, B. (1963). The variation of certain speculative prices. The Journal of Business, 36(4), 394-419. https://web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/341Fa09/econ/Mandelbroit_VariationCertainSpeculativePrices.pdf.
• Pearson, K. (1905). "Das Fehlergesetz und Seine Verallgemeinerungen Durch Fechner und Pearson." A Rejoinder. Biometrika, 4(1-2), 169-212. https://doi.org/10.2307/2331536.
• Rada Monitoringu Społecznego. (2015). Diagnoza Społeczna [zbiór danych]. Pobrane 28 marca 2022 r. z http:/www.diagnoza.com.
• Schiffler, R. E. (1988). Maximum Z-Score and outliers. The American Statistician, 42(1), 79-80. https://doi.org/10.1080/00031305.1988.10475530.
• Schmid, F., Trede, M. (2003). Simple tests for peakedness, fat tails and leptokurtosis based on quantiles. Computational Statistics & Data Analysis, 43(1), 1-12. https://doi.org/10.1016/S0167-9473(02)00170-6 .
• Sobczyk, M. (2007). Statystyka. Wydawnictwo Naukowe PWN.
• Taleb, N. N. (2009). Errors, robustness, and the fourth quadrant. International Journal of Forecasting, 25(4), 744-759. https://doi.org/10.1016/j.ijforecast.2009.05.027.
• Taleb, N. N., Goldstein, D. G. (2012). The problem is beyond psychology: The real world is more random than regression analyses. International Journal of Forecasting, 3(28), 715-716. https://doi.org/10.1016/j.ijforecast.2012.02.003.
• Wagner, W., Mantaj, A. (2014). Zasady statystyki jedno- i dwuwymiarowej. Metodyka, teoria i zastosowania (t. 1). Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie, Wydawnictwo Oświatowe "Fosze".
• Weisstein, E. W. (b.r.). Kurtosis Excess. Pobrane 28 marca 2022 r. z https://mathworld.wolfram.com/KurtosisExcess.html.
• Westfall, P. H. (2014). Kurtosis as Peakedness, 1905-2014. R.I.P. The American Statistician, 68(3), 191-195. https://doi.org/10.1080/00031305.2014.917055.
• Wiktorowicz, J., Grzelak, M. M., Grzeszkiewicz-Radulska, K. (2020). Analiza statystyczna z IBM SPSS Statistics. Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego.

Identyfikatory

DOI

10.5604/01.3001.0016.1039