Warunek konieczny i dostateczny na to, aby macierz symetryczna była macierzą współczynników korelacji

• Autorzy: Maria Westa

Warianty tytułu

A necessary and sufficient condition for a symmetric matrix to be a correlation matrix

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

Borowiecki, Kolupa i Kaliszyk (1984) oraz Dudek (2003) zaproponowali metody, w których uogólniona nierówność Hellwiga jest wykorzystywana do sprawdzania, czy macierz symetryczna, która posiada następujące własności: b) wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe jedności; (1) c) wszystkie elementy poza główną przekątną są co do wartości bezwzględnej (2) nie większe niż 1; jest macierzą współczynników korelacji dla pewnych zmiennych. Westa (artykuł złożony do druku) wykazała, że ta procedura weryfikacyjna może niepoprawnie wskazywać macierze współczynników korelacji. Twierdzenia udowodnione w niniejszym artykule określają różne postacie warunku koniecznego i dostatecznego na to, by macierz symetryczna o własnościach (l)-(2) była macierzą współczynników korelacji. Między innymi wykazano, że dowolna macierz symetryczna o wymiarach 3 X 3 o własnościach (l)-(2) jest macierzą współczynników korelacji wtedy, i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest nieujemny. Niektóre uzyskane rezultaty uogólniają wyniki wyprowadzone przez Hauke i Pomianowską (1987) dla pary korelacyjnej. (abstract oryginalny)

EN

Borowiecki, Kolupa and Kaliszyk (1984) and Dudek (2003) proposed methods in which the generalised Hellwig's inequality is used for verifying that a symmetric matrix, which has the following properties: a) all elements on the main diagonal are units; (1) b) all elements outside the main diagonal are not greater than one in absolute value; (2) is a correlation matrix of certain variables. Westa (forthcoming) showed that this verification procedure may improperly indicate the correlation matrices. The theorems proved in the present paper define various forms of the necessary and sufficient condition for a symmetric matrix with properties (l)-(2) to be a correlation matrix. Among others things, it was shown that any symmetric 3x3 matrix with properties (l)-(2) is a correlation matrix if and only if its determinant is non-negative. Some results obtained generalize those given by Hauke and Pomianowska (1987) for correlation pair. (original abstract)

Słowa kluczowe

PL

Macierze; Korelacja; Para korelacyjna

EN

Matrix; Correlation; Correlative pairs

• Czasopismo: Przegląd Statystyczny
• Rocznik: 2008
• Tom: 55
• Numer: z. 3
• Strony: 33--46

Twórcy

autor

Maria Westa

Bibliografia

• [1] Borowiecki A., Kaliszyk J., KolupaM., [1984], Uogólnienie nierówności Hellwiga, „Przegląd Statystyczny", z. 1/2, s. 83-91.
• [2] Dudek H., [2003], Wpływ współłiniowości na wartości współczynników korelacji pomiędzy parami zmiennych objaśniających, „Przegląd Statystyczny", z. 2, s. 41-51.
• [3] Godlberger A.S., [1972], Teoria ekonometrii, PWE, Warszawa.
• [4] Hauke J. Pomianowska J., [1987], Związki korelacyjne w świetle kryterium nieujemnej określoności macierzy blokowej, „Przegląd Statystyczny", z. 3, s. 219-224.
• [5] Hellwig Z., [1976], Przechodniość relacji skorelowania zmiennych losowych i płynące stąd wnioski ekonometryczne, „Przegląd Statystyczny", z. 1, s. 3-20.
• [6] Mostowski A., Stark M., [1972], Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa.
• [7] Rao C.R., [1982], Modele liniowe statystyki matematycznej, PWN, Warszawa.
• [8] Theil T, [1979], Zasady ekonometrii, PWN, Warszawa.
• [9] Westa M., [2007], Dokładna współłiniowość a wartości współczynników korelacji pomiędzy parami zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym, „Przegląd Statystyczny", z. 1, s. 78-93.
• [10] Westa M, Metoda konstrukcji wektorów obserwacji na zmiennych o danej macierzy współczynników korelacji, artykuł złożony do publikacji w Przeglądzie Statystycznym.
• [11] Westa M., O stosowaniu uogólnionej nierówności Hellwiga do sprawdzania, czy macierz symetryczna jest macierzą współczynników korelacji, artykuł złożony do publikacji w Przeglądzie Statystycznym.