O stosowaniu uogólnionej nierówności Hellwiga do sprawdzania, czy macierz symetryczna jest macierzą współczynników korelacji

• Autorzy: Maria Westa

Warianty tytułu

On using the generalized Hellwig's inequality for verifying that a symmetric matrix is a correlation matrix

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

Hellwig (1976) zaproponował nierówność dotyczącą zależności między wszystkimi współczynnikami korelacji dla par zmiennych w przypadku trzech zmiennych. Uogólniona nierówność Hellwiga (poniżej UNH) została wyprowadzona przez Borowieckiego, Kaliszyka i Kolupę (1984). Utrzymują oni, że dowolna macierz symetryczna o wymiarach k x k, która posiada następujące własności: a) k ≥ 3; (1) b) wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe jedności; (2) c) wszystkie elementy poza główną przekątną są co do wartości bezwzględnej nie większe niż 1, (3) jest macierzą współczynników korelacji, jeżeli UNH zachodzi dla każdego elementu powyżej głównej przekątnej (poniżej kryterium UNH). Rezultaty te zostały wykorzystane przez Dudek (2003). Metody sprawdzania, czy macierz symetryczna o własnościach (l)-(3) jest macierzą współczynników korelacji (poniżej sprawdzanie CM) były również rozważane przez Hauke i Pomianowska (1987). Wyprowadzili oni warunki (poniżej warunki HP) stosowania UNH w badaniu CM dla macierzy symetrycznej pewnego typu. Nie rozważali kryterium UNH. W niniejszym artykule wyprowadzono nowe warunki stosowania UNH w badaniu CM. Udowodniono, że: a) kryterium UNH poprawnie wskazuje macierze korelacji tylko dla k = 3; b) gdy k > 3, to spełnienie kryterium UNH nie jest warunkiem wystarczającym na to, aby macierz symetryczna o własnościach (l)-(3) była macierzą współczynników korelacji; c) warunki HP są błędne. (abstrakt oryginalny)

EN

Hellwig (1976) proposed an inequality concerning the relationship between all pairwise correlation coefficients in the case of three variables. The generalised Hellwig's inequality (hereafter GHI) was derived by Borowiecki, Kaliszyk and Kolupa (1984). They argued that any symmetric k x k matrix, which has the following properties: a) k ≥ 3; (1) b) all elements on the main diagonal are units; (2) c) all elements outside the main diagonal are not greater than one in absolute value; (3) is a correlation matrix if GHI is fulfilled for every element above the main diagonal (hereafter GHI criterion) These results were used by Dudek (2003). criterion;. Methods of verification that a symmetric matrix with properties (l)-(3) is a correlation matrix (hereafter CM venficatton) were also cohered by Hauke and Pomianowska (1987). They derived conditions hereafter HP condmonsjI of using GHI in CM verification for a symmetric matrix of certain type. They did not consider the GHI criterion. In the present paper, new conditions of using GHI in CM verification were derived. It was proved that a) the GHI criterion properly indicates the correlation matrices only for k = 3- b) if k > 3 then the fulfilment of the GHI criterion is not a sufficient condition for a symmetric matrix with properties (l)-(3) to be a correlation matrix; symmetric matrix c) HP conditions are not true. (original abstract)

Słowa kluczowe

PL

Macierze; Korelacja; Para korelacyjna

EN

Matrix; Correlation; Correlative pairs

• Czasopismo: Przegląd Statystyczny
• Rocznik: 2008
• Tom: 55
• Numer: z. 2
• Strony: 64--77

Twórcy

autor

Maria Westa

Bibliografia

• [1] Borowiecki A., Kaliszyk J., Kolupa M., [1984], Uogólnienie nierówności Hellwiga, „Przegląd Statystyczny", z. 1/2, s. 83-91.
• [2] Borowiecki A., Kaliszyk J., Kolupa M., [1986], Koincydencja i efekt katalizy w liniowych modelach ekonometrycznych, PWN, Warszawa.
• [3] Dudek H., [2003], Wpływ współliniowości na wartości współczynników korelacji pomiędzy parami zmiennych objaśniających, „Przegląd Statystyczny", z. 2, s. 41-51.
• [4] Godlberger A.S., [1972], Teoria ekonometrii, PWE, Warszawa.
• [5] Hauke J Pomianowska J., [1987], Związki korelacyjne w świetle kryterium nieujemnej określoności macierzy blokowej, „Przegląd Statystyczny", z. 3, s. 219-224
• [6] Hellwig Z., [1976], Przechodniość relacji skorelowania zmiennych losowych i płynące stąd wnioski ekonometryczne, „Przegląd Statystyczny", z. 1, s. 3-20.
• [7] Mostowski A., Stark M., [1972], Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa.
• [8] Rao C.R., [1982], Modele liniowe statystyki matematycznej, PWN, Warszawa.
• [9] Westa M., Metoda konstrukcji wektorów obserwacji na zmiennych o danej macierzy współczynników korelacji, artykuł złożony do publikacji w Przeglądzie Statystycznym.
• [10] Westa M., Warunek konieczny i dostateczny na to, aby macierz symetryczna była macierzą współczynników korelacji, artykuł złożony do publikacji w Przeglądzie Statystycznym.