Test of Multivariate Normality Using Shape Measures of the Distribution

• Autorzy: Wiesław Wagner
• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

Karl Pearson, in 1990, proposed two numerical characteristics of the distribution of random variables i.e. asymmetry (skewness) and kurtosis (flatness). Their sample approximations allow to describe partially the empirical distribution, to find out if it differs from a symmetric distribution and if it is exceedingly flat or high. The measures of shape for distributions with known first four central moments are uniquely defined, in particular, for the univariate normal distribution they are equal to 0 and 3. It allows to compare distributions with known measures of shape with the normal distribution. Such comparisons in univariate case is done by means of standardized tests based on the third and fourth sample central moments. An overview of such tests maybe found in the work by D'Agostino and Pearson (1973). The translation of shape measures to multivariate case was done by Mardia (1970). These measures significantly enriched the statistical description of empirical distributions and allowed to introduce many tests of multivariate normality. The distributions of these tests' statistics using sample multivariate asymmetry and kurtosis are usually derived through central limit theorems. In the work an overview of multivariate normality tests based on the sample measures of asymmetry and kurtosis is given. The statistical properties of these measures are discussed as well as the usefulness of these tests with respect to power and sample size. (original abstract)

Miary kształtu rozkładu jedno- i wielowymiarowych zmiennych losowych znajdują powszechne zastosowanie w konstrukcji testów jedno- i wielowymiarowej normalności. Przy ich konstrukcji korzysta się z pierwszych czterech momentów centralnych wyprowadzanych z odpowiednich statystyk próbkowych przy odpowiednich założeniach stochastycznych. W pracy dokonano przeglądu testów wielowymiarowej normalności opartych na próbkowych miarach asymetrii i kurtozy. Podano różne ich własności statystyczne, uwzględniające wielkości prób oraz postacie przekształcone do jednowymiarowych statystyk próbkowych. Załączone zostały również wyniki badań dotyczące mocy testów. (abstrakt oryginalny)

Słowa kluczowe

EN

Multi-dimensional tests; Random variable; Statistical methods

PL

Testy wielowymiarowe; Zmienne losowe; Metody statystyczne

• Czasopismo: Acta Universitatis Lodziensis. Folia Oeconomica
• Rocznik: 2008
• Tom: 216 Multivariate Statistical Analysis Statistical Inference, Statistical Models and Applications
• Strony: 173--186

Twórcy

autor

Wiesław Wagner

• University of Information Technology and Management in Rzeszów, Poland

Bibliografia

• Bera D. J., John S. (1983), Tests for multivariate normality with Rearson alternatives. Comm. Statist. 24, 385-388.
• D'Agostino R.B., Rearson E. S. (1973), Tests for departures from normality. Empirical results for the distributions of b 2 and b. Biometrika. 60, 613-622.
• Davis A. W. (1980), On the effects of moderate multivariate nonnormality on Wilks likelihood ratio criteria. Biometrika. 67, 419-421.
• Domański Cz., Pruska K., Wagner W., (1998), Wnioskowanie statystyczne przy nieklasycznych załżeniach. Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź.
• Domański Cz., Wagner W., (1982), Przegląd testów weryfikujących hipotezę o wielowymiarowej normalności. Dwunaste Colloquium Metodologiczne z Agro-Biometrii, PAN, 255-274.
• Goldstein R. B. (1973), Chi-square quantiles. Algorithm 451. Commun. ACM, 483^185.
• Jarque C., McKenzie C. R. (1982), Testing for multivariate normality in simultaneous equation models. Mimeo, Department of Statistics, Australian Natioanl University.
• Kendall M.G., Stuart A. (1963), The advanced theory of statistics.vol. I. Griffin, London.
• Mardia K. V. (1970), Measure of multivariate skewness and kurtosis with applications. Biometrika 57, 519-530.
• Mardia K. V. (1974), Applications of some measures of multivariate skewness and kurtosis to testing normality to robustness studies, Sankhaya Ser. B, 36, 115-128.
• Mardia К. V. (1975), Assessment of multinorality and robustness of Hoteling's T2 tests. J.Roy. Statist. Soc. С 24, 163-171.
• Mardia K. V. (1977), Mahalanobis distances and angles. Multivariate Analysis IV (P.R. Krishnaaiaaah, ed.), North Holland Publishing Co., 495-511.
• Mardia K. V., Kent J. T., Bibby J.M. (1979), Multivariate analysis. Academic Press, London.
• Mardia K. V., Foster K. (1983), Omnibus tests of multivariate based on skewness and kortosis . Commun. Statist. 12(2), 207-221.
• Mardia K. V., Kazanawa M. (1982), The null distribution of multivariate kurtosis. . Commun. Statist. 12(5), 569-576.
• Wagner W., (1990), Test normalności wielowymiarowej Shapiro-Wilka i jego zastosowania w doświadczalnictwie rolniczym. Rozprawy Naukowe AR w Poznaniu, 197.