Porównanie prawdopodobieństw paryskiej i klasycznej ruiny dla procesu ryzyka typu Lévy'ego

• Autorzy: Irmina Czarna , Zbigniew Palmowski

Warianty tytułu

Comparison of Parisian and Classical Ruin Probabilities for a Lévy Risk Process

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

W pracy analizujemy prawdopodobieństwo ruiny typu paryskiego, kiedy pro¬ces ryzyka jest modelowany przez spektralnie ujemny proces Lévy'ego. Paryska ruina nastę¬puje, kiedy proces rezerw pozostaje ujemny dłużej niż ustalony horyzont czasowy ζ > 0. W pracy przedstawimy jednolite wzory na klasyczne prawdopodobieństwo ruiny oraz praw¬dopodobieństwo typu paryskiego. Otrzymane wyniki zapisane są w języku tzw. funkcji skalujących, których transformata Laplace'a jest dana przez podstawową charakterystykę procesu Lévy'ego, jaką jest wykładnik Laplace'a. Siła tej nowej metody zostanie przedstawiona na przykładzie kilku wybranych procesów ryzyka, m.in. przeanalizujemy klasyczny proces Craméra-Lundberga oraz ruch Browna z dryfem. W pracy pokażemy także numeryczne porównanie, jak opóźnienie paryskie wpływa na prawdopodobieństwo ruiny. (abstrakt oryginalny)

EN

In this paper we analyze so-called Parisian ruin probability that happens when surplus process stays below zero longer than fixed amount of time ζ > 0. We focus on general spectrally negative Lévy insurance risk process. For this class of processes we identify expression for (classical and Parsisan) ruin probability in terms of so-called scale functions which is defined via Laplace exponent of risk process. We analyze few explicit examples such as Cramér-Lunberg process (large claim size case) and Brownian motion with drift (small claim size case). In this paper we numerically compare classical and Parisian ruin probabilities. (original abstract)

Słowa kluczowe

PL

Prawdopodobieństwo; Procesy Levy'ego; Optymalizacja

EN

Probability; Levy processes; Optimalization

• Czasopismo: Prace Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu
• Rocznik: 2011
• Numer: nr 207 Zagadnienia aktuarialne - teoria i praktyka
• Strony: 9--21

Twórcy

autor

Irmina Czarna

• Uniwersytet Wrocławski

autor

Zbigniew Palmowski

• Uniwersytet Wrocławski

Bibliografia

• Albrecher H., Thonhauser S. (2008), Optimal dividend strategies for a risk process under force of interest, "Insurance: Mathematics and Economics" no 43.
• Albrecher H., Kortschak D., Zhou X. (2010), Pricing of Parisian options for a jump-diffusion model with two-sided jumps, złożony do publikacji.
• Asmussen S., Hojgaard B., Taksar M. (2000), Optimal risk control and dividend distribution policies. Example of excess-of loss reinsurance for an insurance corporation, "Finance Stoch" no 4.
• Asmussen S. (2000), Ruin Probabilities, World Scientific, London.
• Avram F., Kyprianou A.E., Pistorius M.R. (2004), Exit problems for spectrally negative Lévy processes and applications to (Canadized)Russian options, "Ann. Appl. Probab." no 14.
• Bertoin J. (1996), Levy Processes, Cambridge University Press.
• Czarna I., Palmowski Z. (2010), Ruin probability with Parisian delay for a spectrally negative Lévy risk process, złożony do publikacji, http://arxiv.org/abs/1003.4299.
• Dassios A., Wu S. (2009a), Parisian ruin with exponential claims, złożony do publikacji, http://stats.lse.ac.uk/angelos/.
• Dassios A., Wu S. (2009b), Ruin probabilities of the Parisian type for small claims, złożony do publikacji, http://stats.lse.ac.uk/angelos/.
• Dassios A., Wu S. (2009c), Perturbed Brownian motion and its application to Parisian option pricing, "Finance and Stochastics", http://www.springerlink.com/content/c10155vh5121180x/.
• De Finetti B. (1957), Su un'impostazione alternativa dell teoria colletiva del rischio, "Trans. XV Intern. Congress Act." no 2.
• Gerber H.U. (1969), Entscheidungskriterien für den Zusammengesetzten Poisson Prozess, "Mitteilungen der Vereinigung Schweizerischer Versicherungsmathematiker" Nr. 69.
• Gerber H.U. (1972), Games of economic survival with discrete- and continuous-income processes, "Operations Research" no 20.
• Gerber H.U., Shiu E.S.W. (2004), Optimal dividends: analysis with Brownian motion, "North American Actuarial Journal" no 8.
• Kyprianou A.E., Palmowski Z. (2005), A martingale review of some fluctuation theory for spectrally negative Lévy processes, "Seminaire de Probabilites" XXXVIII.
• Kyprianou A.E. (2006), Introductory Lectures on Fluctuations of Lévy Processes with Applications, Springer, Germany.
• Kyprianou A.E., Palmowski Z. (2007), Distributional study of De Finetti's dividend problem for a gen¬eral Lévy insurance risk process, "Journal of Applied Probability" no 44(2).
• Landriault D., Renaud J.F., Zhou X. (2010), Insurance risk model with Parisian implementation delays, złożony do publikacji.
• Paulsen J. (2007), Optimal dividend payments until ruin of diffusion processes when payments are subject to both fixed and proportional costs, "Adv. in Appl. Probab." no 39(3).
• Pistorius M.R. (2004), On exit and ergodicity of the completely asymmetric Lévy process reflected at its infimum, "J. Th. Probab." no 17.
• Rolski T., Schmidli H., Schmidt V., Teugels J. (1999), Stochastic Processes for Insurance and Finance, Wiley, Chichester.
• Sato K. (1999), Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions, Cambridge University Press.
• Schmidli H. (2008), Stochastic Control in Insurance, Springer Verlag, London.
• Zhou X. (2005), On a classical risk model with a constant dividend barrier, "North American Actuarial Journal" no 9.