Methods of Handling Tied Events in the Cox Proportional Hazard Model

• Autorzy: Jadwiga Borucka

Warianty tytułu

Metody estymacji modelu Proporcjonalnych Hazardów Coxa w wypadku występowania zdarzeń powiązanych

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The Cox proportional hazard model is one of the most common methods used in time to event data analysis. The model is based on several restrictive assumptions one of which concerns tied events, i.e. events with exactly the same survival time. If time were measured in a perfectly continuous scale, such cases would never occur. In real applications time is usually measured in a discrete manner which results in the existence of ties in most survival data. However, if this assumption is violated, it should not necessarily prevent analysis by using the Cox model. The current paper presents and compares five ways proposed for handling tied events. On the basis of the calculations performed it can be stated that exact expression and the discrete model give the best results in terms of fit statistics; however, they are the most time-consuming. Efron and Breslow approximations are much faster but result in worse model fit. In the case analysed the Efron method seems to be the best choice, taking into account differences in parameters estimates, fit statistics and calculation time. What is more, a simple method based on subtracting a tiny random value from each tied survival time performed surprisingly well; both in terms of parameter estimates compared with the exact expression, as well as fit statistics. In general, in the case of large datasets and/or a large number of ties, if estimation precision is not as important as estimation time, Breslow or - more preferably - Efron approximations might be used. However, if time is not limited, one should consider choosing an exact method or discrete model that can provide better fit statistics and more efficient parameter estimates.(original abstract)

Model proporcjonalnych hazardów Coxa jest jedną z najczęściej wykorzystywanych metod w analizie czasu przeżycia. Jest oparty na kilku restrykcyjnych założeniach; jedno z nich dotyczy występowania tzw. zdarzeń powiązanych, tzn. zdarzeń zaobserwowanych dokładnie w tym samym momencie. Gdyby czas był mierzony w sposób ciągły, taka sytuacja nie miałaby miejsca. W zastosowaniach praktycznych jednakże czas jest zazwyczaj mierzony w sposób dyskretny, co skutkuje występowaniem zdarzeń powiązanych w większości zbiorów wykorzystywanych w analizie czasu przeżycia. Niemniej jednak, odchylenie od tego założenia nie musi stanowić przeszkody w stosowaniu modelu Coxa. Niniejszy artykuł prezentuje pięć sposóbów proponowanych w literaturze dla zbiorów zawierających zdarzenia powiązane. Na podstawie przeprowadzonych obliczeń można stwierdzić, że metoda exact oraz model dyskretny dają najlepsze rezultaty pod względem statystyk dopasowania, jednakże są najbardziej czasochłonne. Przybliżenia Breslowa i Efrona pozwalają otrzymać oszacowania znacznie szybciej, ale skutkują gorszą jakością dopasowania modelu. W rozważanym przykładzie przybliżenie Efrona jest najlepszym wyborem, biorąc pod uwagę różnice w oszacowaniach parametrów, statystyki dopasowania modelu oraz czas obliczeń. Ponadto prosta metoda oparta na odjęciu od każdej wartości zmiennej czasowej pośród zdarzeń powiązanych niewielkiej wartości wylosowanej z rozkładu jednostajnego, daje zaskakująco dobre wyniki zarówno pod względem oszacowań parametrów, jak i statystyk dopasowania modelu. Ogólnie rzecz biorąc, w przypadku dużych zbiorów i/lub dużej liczby zdarzeń powiązanych, jeśli precyzja estymacji nie jest priorytetem, a ważniejszy jest czas obliczeń, przybliżenia Breslowa lub Efrona mogą być wykorzystane. Jednakże jeśli czas nie jest ograniczony, warto rozważyć wybór metody exact lub modelu dyskretnego, które umożliwiają otrzymanie lepszych statystyk dopasowania modelu oraz wyższej efektywności oszacowań parametrów.(abstrakt oryginalny)

Słowa kluczowe

EN

Cox proportional hazard model; Econometric models; Mathematical analysis

PL

Model proporcjonalnego hazardu Coxa; Modele ekonometryczne; Analiza matematyczna

• Czasopismo: Studia Oeconomica Posnaniensia
• Rocznik: 2014
• Tom: 2
• Numer: nr 2
• Strony: 91--106

Twórcy

autor

Jadwiga Borucka

• Warsaw School of Economics, Poland

Bibliografia

• Andersen, P.K., Borgan, Ø., Gill, R.D., Keiding, N., 1993, Statistical Models Based on Counting Processes, Springer-Verlag, New York.
• Breslow, N., 1975, Covariance Analysis of Censored Survival Data, Biometrics, vol. 30, no. 1, s. 89-99.
• Cox, D.R., 1972, Regression Models and Life-Tables, Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), vol. 34, no. 2, s. 187-220.
• Efron, B., 1977, The Efficiency of Cox's Likelihood Function for Censored Data, Journal of the American Statistical Association, vol. 72, no. 359, s. 557-565.
• Fleming, T.R., Harrington, D.P., 1991, Counting Process and Survival Analysis, John Wiley & Sons, New York.
• Hertz-Picciotto, I., Rockhill, B., 1977, Validity and Efficiency of Approximation Methods for Tied Survival Times in Cox Regression, Biometrics, vol. 53, no. 3, s. 1151-1156.
• Hosmer, D.W., Lemeshow, S., 1999, Applied Survival Analysis. Regression Modelling of Time to Event Data, John Wiley & Sons, New York.
• Kalbfleisch, J.D., Prentice, R.L., 2002, The Statistical Analysis of Failure Time Data, John Wiley & Sons, New York.
• Nardi, A., Schemper, M., 2003, Comparing Cox and Parametric Models in Clinical Studies, Statistics in Medicine, vol. 22, s. 3597-3610, DOI: 10.1002/sim.1592.