Wybrane metody dywersyfikacji portfeli inwestycyjnych

• Autorzy: Agata Gluzicka
• Języki publikacji: PL

Abstrakty

W opracowaniu omówiono problemy związane z dwoma pierwszymi typami dywersyfikacji. Miary dywersyfikacji według wag portfela odpowiadają dywersyfikacji alokacji kapitału. Konstrukcja tych miar nie wymaga żadnych specyficznych informacji o własnościach ryzyka analizowanych aktywów. Miary te są zazwyczaj definiowane na podstawie wag portfela, dlatego też nie występują tu problemy związane z estymacją ryzyka. Najbardziej popularnymi w literaturze przedmiotu miarami dywersyfikacji według wag portfela są: indeks Herfindahla, krzywa Lorenza, współczynnik Giniego oraz miary dywersyfikacji definiowane za pomocą entropii. Miary dywersyfikacji według udziału ryzyka dostarczają informacji o ryzyku związanym z aktywami, przede wszystkim poprzez ocenę historyczną rozkładów stóp zwrotu tych aktywów. Bardzo często miary te są formułowane na podstawie macierzy kowariancji i dlatego na ich stosowanie wpływ mają błędy związane z estymacją ryzyka. Takie miary dostarczają dobrego opisu dywersyfikacji w święcie inwestycji, który jest charakteryzowany poprzez spektrom dużych zmienności. Główne podejścia do dywersyfikacji według udziału ryzyka to: miary dywersyfikacji oparte na entropii, współczynnik dywersyfikacji oraz podejścia wspominane w poprzedniej kategorii, które można zrewidować, uwzględniając udział ryzyka (indeks Herfindahla, krzywa Lorenza, współczynnik Giniego). Rozdział pierwszy dotyczy problemu dywersyfikacji w klasycznym ujęciu. W pierwszej kolejności przedstawiono wybrane wskaźniki dywersyfikacji. Omówione w tej części wskaźniki to miary najczęściej prezentowane w literaturze przedmiotu, a zarazem najłatwiejsze do obliczenia, gdyż definiuje się je za pomocą liczby składników w portfelu lub wielkości udziałów tych składników w portfelu. Rozdziały 2 i 3 dotyczą nowej w analizach polskiego rynku finansowego teorii portfeli parytetu ryzyka, zwanych również portfelami równego udziału ryzyka. Portfele parytetowe są przykładem strategii inwestycyjnej, przy opracowywaniu której pomija się założenia związane ze stopą zwrotu portfela. Takie podejście prowadzi do lepszych wyników inwestycyjnych, a zdaniem wielu praktyków wydaje się właściwsze do stosowania, głównie w okresach gwałtownych zmian zachodzących na rynkach inwestycyjnych. W rozdziale 2 na podstawie literatury omówiono klasyczną teorię portfeli parytetowych, zgodnie z którą parytet ryzyka definiuje się dla odchylenia standardowego jako miary ryzyka. W kolejnych podrozdziałach wprowadzono definicje miary całkowitego i marginalnego udziału ryzyka oraz sformułowano warunek konieczny dla osiągnięcia parytetu ryzyka w portfelu. Omówiono również metodę konstrukcji portfeli o równym udziale ryzyka, którą następnie zastosowano w badaniach empirycznych przeprowadzonych dla wybranej grupy danych z GPW w Warszawie. Rozdział kończy się prezentacją ważniejszych własności charakterystycznych dla portfeli o równym udziale ryzyka. W rozdziale 3 przedstawiono kilka autorskich propozycji stanowiących rozszerzenie klasycznej teorii portfeli parytetowych. Kolejny rozdział dotyczył tzw. portfeli najbardziej zdywersyfikowanych. Są to portfele wyznaczane przy założeniu, że efekt dywersyfikacji tkwi w różnicy między ryzykiem portfela a średnią ważoną ryzyka obliczanego dla poszczególnych składników tego portfela. W pierwszej kolejności wprowadzono wskaźnik dywersyfikacji, za pomocą którego można konstruować tego typu portfele. Następnie przedstawiono model optymalizacyjny, z wykorzystaniem którego możliwa jest konstrukcja portfeli najbardziej zdywersyfikowanych, oraz omówiono podstawowe własności tych portfeli. W dalszych dwóch podrozdziałach przedstawiono autorskie propozycje związane z portfelami najbardziej zdywersyfikowanymi. Zaproponowano model wyboru takich portfeli dla przypadku wielookresowego oraz dla średniej różnicy Giniego jako miary ryzyka. Poziom dywersyfikacji może być również analizowany z wykorzystaniem szerokiego wachlarza miar zdefiniowanych za pomocą entropii. W rozdziale 5 przedstawiono wybrane miary dywersyfikacji, do określenia których stosuje się miary entropii. Zasadniczą część tego rozdziału stanowi miara zwana kwadratową entropią Rao. W kolejnych podrozdziałach wprowadzono definicję tej miary oraz model wyboru portfeli optymalnych w sensie kwadratowej entropii Rao, który następnie zastosowano w badaniach empirycznych. Omówiono również własności tych portfeli. W ostatnim rozdziale przedstawiono możliwości zastosowania analizy składowych głównych w problemach dotyczących dywersyfikacji portfeli inwestycyjnych. Omówiono indeks dywersyfikacji portfela (indeks PDI) określany za pomocą wartości własnych macierzy kowariancji stóp zwrotu. W poszczególnych rozdziałach zaprezentowano wyniki autorskich badań empirycznych, w których wykorzystywano proponowane miary oraz metody wyboru portfeli zdywersyfikowanych. Badania empiryczne prowadzono dla rzeczywistych danych w postaci stóp zwrotu wybranych spółek z Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie. (fragment tekstu)

Słowa kluczowe

PL

Ekonomia; Zarządzanie portfolio; Dywersyfikacja portfela; Inwestycje

EN

Economics; Portfolio management; Portfolio diversification; Investment

• Czasopismo: Prace Naukowe / Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach
• Rocznik: 2018
• Strony: 142

Twórcy

autor

Agata Gluzicka

• Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach

Bibliografia

• Abbassi M., Ashraffi m., Tashnizi E.(2014), Selecting balanced portfolios of R&D project with interdeoendiences: A cross-entropy based methogo, "Technovation", 34.
• Abraham A., Fazal J., Seyyed A.(2001), Analysis of diversification benefits of investing in the emerging gulf equity markets, "Managerial Finance", 27(10/11).
• Alekneviciene V., Alekneviciene E., Rinkeviciene R.(2012), Portfolio size and diversification effect in Lithuanian Stock Exchange Market, "Engineering Economics" 23(4), s. 338-347.
• Asl F.M., Etula E. (2012), Advancing strategic sset allocation in a multi-factor world, "The Journal of Portfolio Management", 39(1), s. 59-60.
• Bai X., Scheinberg K., Tutuncu R. (2016), Least-square approach to risk parity portfolio, "Quantitative Finance", 16(3), s. 357-376.
• Benati S.(2015), Using medians in portfolio optimization, "Journal of the Operationa Research Society", 66(5), s. 720-731.
• Benati S., Rizzi R.(2007), A mix integer linear programming formulation of the optimal mean of the value-a risk portfolio problem, "European Journal of Operation Research", 176.
• Bera A.K., Park S.Y.(2008), Optimal portfolio diversification using the maximum entropy principle. "Economic Review", 26(4-6).
• Best M.J., Grauer R.R.(1991), On the sensivity of mean-variance-efficient portfolios to changes in asset means: some analytical and computational results, "Review of Financial Studies", 4, s. 315-342.
• Bchattacharyya R., Hossain S., Kar S. (20014), Fuzzy cross-entropy, mean, variance, skewness models for portfolio selection, "Journal of King And University - Computer and Information Science", 26, s. 79-87.
• Billio M., Getmansky M., Lo A.W., Pelizzion L. (2012), Econometrics measure of conectedness and systemic risk in the finance and insurance sektors, "Journal of Financial Economics", 104, s. 535-559.
• Booth D.G., Fama E.F. (1992), Diversification returns and asset contributions, "Financial Analyst Journal", 48, s. 26-32.
• Bouchaud J.P., Potters M. (2000), Theory of financial risk and derivative pricing: From statistical physics to risk management, Cambridge University Press, Cambridge.
• Bouchaud J.P., Potters M., Aquilar J.P, (1997), Missing information and asset allocation, Science&Finance(CFM) working paper archive 500045, Science&Finance, Capital Fund Management.
• Braga M.D. (2015), Risk parity versus other μ-strategies: A comparision in a triple view, "Investment Management and Financial Innovations , 12. s. 277-289.
• Campbell L. (1966), Exponential entropy as a measure of extend of a distribution, Zeitschrift fur Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete", 5, s, 217-225.
• Carmichael B., Koumon G.B., Moran K. (2015), Unifying portfolio diversification measures using Rao's quadratic entropy, Scientific Series, Cirano.
• Cazalet Z., Grison P., Roncalli T. (2014), The smart beta indexing puzzle "The Journal of Index Investing", 5, s. 97-119.
• Cesarone F., Colucci S., Tardella F. (2015), Minimum risk vs. capital and risk diversification strategies for portfolio construction, Working paper SSRN.
• Chaves D., Hsu J., Li F., Shakemia O. (2011), Risk parity portfolio v.v. other asset allocation heuristic portfolios, "The Journal of Investing", Spring, s. 108-118.
• Chaves D., Hsu J., Li F., Shakemia O. (2012), Efficient algorithms for computing risk painty portfolio weights, "The Journal of Investing", Fall, s. 150-163.
• Cheng P., Roulac S.E. (2007), Measuring the effectiveness of geographical diversification, "Journal of Real Estate Management", 13, s. 29-44.
• Chopra V,, Ziemba W.T. (1993), The effects of errors in means, variances, and covariances on optimal porlfolio choice, "Journal of Portfolio Management", 19(2).
• Choueifaty Y., Coignard Y. (2008), Toward maximum diversification, "Journal of Portfolio Management", 35, s. 40-51.
• Choueifaty Y., Froidure T., Reynier J. (2013), Properties of the most diversified portfolio, "Journal of Investments Strategies", 2, s. 49-70.
• Conover C.M., Friday H.S., Simians G.S. (2002), Diversification benefits from foreign real estate investments, "Journal of Real-Estate Portfolio Management", 8, s. 17-25.
• De Jong M., Wu H. (2014), Fundamental indexation for bond markets, "Journal of Risk Finance", 15(3), s. 264-274.
• Dey S., Juneja S. (2012), Incorporating fat tails in financial models using entropic divergence measures, Working paper, Tata Institute of Fundamental Research.
• Driesson J., Melenberg B., Nijman T. (2003), Common factors in international bond returns, "Journal of International Money and Finance", 22, s. 629-656.
• Elton E.J., Gruber M.J. (1995), Modern portfolio theory and investment analysis Wiley New York.
• Evans J., Aichei S. (1968), Diversification and the reduction of dispersion "Journal of Finance", 23(5), s. 761-767.
• Fabozzi F.J. (2012), Encyclopedia of financial models, John Wiley & Sons, New York.
• Feeney G.J., Hester D.D. (1967), Risk aversion and portfolio choice, Wiley, New York.
• Fernholz R. (2010), Diversification, John Wiley & Sons, New York.
• Fernholz R., Shay B. (1982), Stochastic portfolio theory and stock market equillibntm "The Journal of Finance", 37, s. 615-624.
• Fisher L., Lorie J.H. (1970), Some studies of variability of returns on investments in common stocks, "The Journal of Business", 43(2), s. 99-134.
• Föllmer H., Knispel T. (2011), Entropie risk measures: coherence vs. convexity, modej ambiguity, and robust large deviations, "Stochastics and Dynamics , 11(3).
• Frahm G., Wiechers C. (2011), On the diversification of portfolios of risk,y assets "Discussion Papers in Statistics and Econometrics. Seminar of Economic and Social Statistic University of Cologne", 2(11), s. 1-44.
• Gibson R.C. (2004), The rewards of multiple-asset class investing, Journal of Financial Planning", 17, s. 58-71.
• Gluzicka A (2011) Analiza ryzyka rynków finansowych w okresach gwałtownych zmian ekonomicznych [w:] E. Konarzewska-Gubała (red.), Zastosowania badan operacyjnych. Zarządzanie projektami, decyzje finansowe i logistyka, Prace Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu nr 238, s. 131.
• Gluzicka A. (2015a), Liniowe modele wyboru wielookresowych strategii inwestycyjnych, "Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej. Organizacja i Zarządzanie , nr 86, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, s. 295- 305.
• Gluzicka A. (2015b) Wielookresowe portfele o równym udziale ryzyka, "Studia Ekonomicne Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego" w Katowicach , nr 241.
• Gluzicka A (2015c) Zależność rozkładu ryzyka portfela od kryterium wyboru spółek do portfela. "Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach", nr 237, s. 7-22.
• Gluzicka A (2016a) Optymalna dywersyfikacja na polskim rynku inwestycyjnymi, "Studia Ekonomiczne Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach", nr 297, Katowice, s. 22-37.
• Gluzicka A. (2016b), Risk parity portfolios for selected measures of investment risk, Prace Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu Wrocław Co ence in Fimmce: Contemporary Trends and Challenges, Wroclaw, nr 428, s. 63-71.
• Gluzicka A. (2017a) Grouped risk parity portfolios for stocks from the WSE, Prace Univrersytai Ekonomicznego we Wrocławiu: Wroclaw Conference in Finance Contemporary Trends and Challenges nr 482 (red. K. Jajuga, W. Ronka-Chmielowiec), Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, s. 36-46.
• Gluzicka A. (2017b) Investment attractiveness of the Polish regions on the base of selected flows from the WSE, VIII International Scientific Conference: Analysis of International Relations 2017, Methods and Models of Regional Development, Conference Proceedings (ed. W. Szkutnik), Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach, s. 13-20.
• Gluzicka A. (2017c) Risk parity portfolios for grouped stocks, Springer Proceedings of Business and Economics:Contemporary Trends and Challenges in Finance, Proceedings from the 2nd Wroclaw International Conference in Finance (eds. K. Jajuga, L.T. Orłowski, K. Staehr), Springer International Publishing, s. 81 -89.
• Gluzicka A (2017d) Wybrane miary: oceny stopnia dywersyfikacji portfeli inwestycyjnych, "Studia Ekonomiczne. Zeszyt, Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach", nr 340, Katowice, s. 40-56.
• Hart P.E. (1971), Entropy and other measures of concentration, "Journal of the Royal Statistical Society", 134, s. 73-85.
• Haugen R.A. (1996), Teoria nowoczesnego inwestowania, WIG Press, Warszawa.
• Hight G. (2009), A new way to look at correlations: The incremental diversification effect measure, "Journal of Indexes", March-April, s. 44-49.
• Hua L., Xingsi L. (2003), A new portfolio model and application, "Operations Research and Management Science", 6, s. 83-86.
• Ilmanen A. (2011), Expected returns. An investor's guide to harvesting market rewards John Wiley & Sons, Chichester, UK.
• Jajuga K., Jajuga T. (2002), Inwestycje. Instrumenty finansowe, ryzyko finansowe, inżynieria finansowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.
• Jobson J.D., Korkie B. (1980), Estimation for Markowitz efficient portfolios, "Journal of the American Statistical Association", 75, s. 544-554.
• Jolliffe I.T. (1986), Principal component analysis, Springer, New York.
• Jorion P. (2006), Value at risk: The new benchmark for managing financial risk McGraw-Hill, New York.
• Kaiser H.F. (1960), The application of electronic computer to factoral analysis, "Educational and Psychological Measurements", 20, s. 141-151.
• Kandel S., McCulloch R., Stambaugh R. (1995), Bayesian inference and portfolio efficiency, "Review of Financial Studies", 8, s. 1 -53.
• Kim D.-H., Jeong H. (2005), Systematic analysis of group identification in stocks markets, "Physical Review E", 72, 046133 (doi:10.1103/PhysRevE.72.046133).
• Kind Ch. (2013), Risk-based allocation ofprincipal portfolios, Working paper SSRN.
• Kitamura Y., Stutzer M. (1997), An information-theoretic alternative, to generalized method of moments estimation, "Econometrica", 65(4), s. 861-874.
• Konno H., Yamazaki H. (1991), Mean-absolute deviation portfolio optimization model and its application to Tokyo stock market, "Management Science", 37, s. 519-531.
• Kopańska-Bródka D., Gluzicka A. (2013), Analiza ryzyka wybranych krajów Europy Środkowo-Wschodniej w okresie światowych zmian koniunkturalnych [w:] W. Szkutnik (red.), Problemy społeczno-ekonomiczne w uwarunkowaniach ryzyka i statystycznej nieokreśloności. Metody i modele w rozwoju regionów, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Katowice, s. 129-137.
• Kritzman M., Li Y., Page S., Rigobon R. (2011), Principal components as a measure of systemic risk, "Journal of Portfolio Management", 37, s. 112-126.
• Leaven R.J.A., Stadje M. (2010), Entropy coherent and entropy convex measures of risk Working Paper, CentER and Eurandom.
• Lee W. (2011), Risk-based asset allocation: A new answer to an old question? "Journal of Portfolio Management", 37(4), s. 11-28.
• Li K., Sarkar A., Wang Z. (2003), Diversification benefits of emerging markets subject to portfolio constraints, "Journal of Empirical Finance", 10(1), s. 57-80.
• Lohre H., Neugebauer U., Zimmer C. (2012), Diversified risk parity strategies for equity portfolio selection, "The Journal of Investing", 21 (3), s. 111-128.
• Maasoumi E. (1993). A compeudium to information theory to economic, end econometrics, "Econometric Review", 12(2), s. 137-181.
• Maillard S, Roncalli T, Teiletche J. (2010), The properties of ednolly wcigtoed nsk contributions portfolios. "Journal of Portfolio Management , 36(4), s. 60 70.
• Mansini R., Ogryczak W., Speranza M.G. (2003), LP solvable models for portfolio optimization: A classification and computation comparison, IMA Journal of Management Mathematics", 14, s. 187-220.
• Marfels Ch. (1971), Absolute and relative measures of concentration reconsidered, "Kyklos", 14, s. 753-766.
• Markowitz H.M. (1952), Portfolio selection, "Journal of Finance",7,s. 77-91.
• Markowitz H.M. (1976), Markowitz revisited, "Financial Analysts Journal", 32(5), s. 47-52.
• Meucci A. (2009), Managing diversification, "Risk", 22(5), s. 74-79.
• Meucci A., Santangelo A., Deguest R. (2015), Measuring portfolio diversification based on optimized uncorrelated factors, Working paper SSRN.
• Mills T.C. (1996), The econometrics of the market model: Cointegratiop errorcorrection and exogeneity, "International Journal of Finance and Economics, 1(4), s. 275-286.
• Nayak T.K. (1986a), An analysis of diversity using Rao's quadratic entropy, Indian Journal of Statistics", 48, s. 315-330.
• Nayak T.K. (1986b), Sampling distribution in analysis of diversity, Indian Jouma o Statistics", 48, s. 1-9.
• Newbould G.D., Poon P.S. (1993), The minimum number of stocks needed for diversification, "Financial Practice and Education", 3, s. 85-87.
• Ogryczak E. (2003) Modele programowania liniowego w optymalizacji portfela inwestycyjnego [w:] T. Trzaskalik (red.), Modelowanie preferencji a ryzyko '03, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Katowicach.
• Olbryś J., Majewska E.(2014a), Direct identification of crisis periods on the CEF stock markets: The influence of the 2007 U.S. subprime crisis, Procedia Economics and Finance, 14, s. 461-470.
• Olbryś J., Majewska E. (2014b), Identyfikacja okresu kryzysu z wykorzystaniem procedury diagnozowania stanów rynku, Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego nr 802-Finanse, Rynki Finansowe, Ubezpieczenia nr 65, s. 699-710.
• Olbryś J., Majewska E. (2015), Bear market periods during the 2007-2009 financial crisis: Direct evidence from the Visegrad countries, "Acta Oeconomica", 65(4), s. 547-565.
• Ormos M., Zibriczky D. (2014), Entropy-based financial asset pricing, PLOS ONE 12, e115742 (doi: 10.1371/journal.pone.Ol 15742).
• Pavoine S., Bonsall M.B. (2009), Biological diversity: District distributions can lead to the maximization of Rao's quadratic entropy, "Theoretical Population Biology", 75, s. 153-163.
• Pavoine S., Ollier S., Pontier D. (2015), Measuring diversity from dissimilarities with Rao's quadratic entropy: Are any dissimilarities suitable? "Theoretical Population Biology", 67, s. 231-239.
• Perignon C., Smith D.R. (2010), Diversification and value-at-risk, "Journal of Banking & Finance", 34, s. 55-66.
• Perignon C., Smith D.R., Villa C. (2007), Why common factors in international bond returns are not so common, "Journal of International Money and Finance" 26 s. 284-304.
• Perold A.F. (2004), The capital asset pricing model, "Journal of Economic Perspectives", 18(3), s. 3-24.
• Philippatos G.C., Wilson C. (1972), Entropy, market risk and the selection of efficient portfolios, "Applied Economics", 4, s. 209-220.
• Popkov A.Y. (2006), Entropy model of the investment portfolio, "Automation and Remote Control", 67(9), s. 1518-1528.
• Post T. (2017), Empirical tests for stochastic dominance optimality "Review of Finance", 21, s. 793-810.
• Post T., Karabati S., Arvantis S. (2017), Portfolio construction based on stochastic dominance and empirical likelihood, Working paper SSRN.
• Post T., Poti V. (2017), Portfolio analysis using stochastic dominance, relative entropy and empirical likelihood, "Management Science", 63, s. 793-810.
• Qian E. (2005), Risk parity portfolios: efficient portfolios through true diversification, PanAgora Asset Management White Paper, September 2005 (http://www.panagora com/assets/PanAgora-Risk-Parity-Portfolios-Efficient-Portfohos-Througli-Tme-Diversification.pdf).
• Qian E. (2006), On the financial interpretation of risk contribution: Risk budgets do add up, "Journal of Investment Management", 4(4), s. 41 -51.
• Rao R.C. (1982a), Diversity: It's measurement, decomposition, apportionment and analysis, "Indian Journal of Statistics", 44, s. 1-22.
• Rao R.C. (1982b), Diversity and dissimilarity coefficients: A unifled approach, "Theoretical Population Biology", 21, s. 24-43.
• Rao R.C., Nayak T.K. (1985), Cross entropy, dissimilarity measures and characterizations of quadratic entropy, "Information Theory, IEEE Transactions", 31, s. 589-593.
• Ricotta C., Szeidl L. (2009), Diversity partitioning of Rao's quadratic entropy, "Theoretical Population Biology", 76, s. 299-302.
• Robertson J., Talhnan E., Whiteman C. (2005), Forecasting using relative entropy "Journal of Money Credit and Banking", 37(3), s. 383-401.
• Rocha L.C.S., Paiva A.P., Balestrassi P.P., Severino G" Rotela Junior P. (2015), Entropy-based weighting for multiobjective optimization: An application on vertical turning, "Mathematical Problems in Engineering", article ID: 608325.
• Rockafellar R.T., Uryasev S. (2000), Optimization of conditional value-at-risk "The Journal of Risk", 2, s. 21 -41.
• Rodder W., Gartner I.R., Rudolph S. (2010), An entropy-driven expert system shell applied to portfolio selection, "Expert Systems with Applications", 37, s. 7509-7520.
• Rudin A.M., Morgan J.S. (2006), A portfolio diversification index, "The Journal of Portfolio Management", 32(2), s. 81-89.
• Russo A. (2013), Low risk equity investments: Empirical evidence, theories, and the Amundi experience, Amundi Working Paper WP-033-20L.
• Shalit H., Yitzhaki S. (2005), The mean-Gini efficient portfolio frontier, "The Journal of Financial Research", Vol. XXVII, s. 59-75.
• Shannon C.E. (1948), A mathematical theory of communication, "Bell System Technical Journal", 27, s. 379-423.
• Sharpe W. (1966), Mutual fund performance, "Journal of Business , 39(1), s. 119-138.
• Sharpe W. (1992), Asset allocation: Management style and performance measurement, "Journal of Portfolio Management", Winter, s. 7-19.
• Sharpe W., Alexander G.J., Bailey J.V., Fowler DJ. (1997) Canadian Edition, Prentice Hall Canada Incorporated, Scarborough, Ontario.
• Sheraz M., Dedu S., Preda V. (2015), Entropy measures for assessing volatile markets, "Procedia Economics andFinance", 22, s. 655-662.
• Statman M., Scheid J. (2005), Global diversification, "Journal of Investment Management", 3, s. 1-11.
• Statman M., Scheid J. (2008), Correlation, return gaps and the benefits of diversification, "Journal of Portfolio Management", 34(3), s. 132-139.
• Tang G.Y.N. (2004), How efficient is naive portfolio diversification? An educational note, "The International Journal of Management Science , 32, s. 155-160.
• Tarczyński W. (1997), Rynki kapitałowe, metody ilościowe, vol. 2, Placet, Warszawa.
• Tarczyński W (2002a), Dywersyfikacja ryzyka na polskim rynku kapitałowym. Inwestycje finansowe i ubezpieczenia - tendencje światowe a polski rynek, Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, nr 952.
• Tarczyński W. (2002b), Fundamentalny portfel papierów wartościowych, PWE, Warszawa.
• Tarczyński W., Łuniewska M. (2004), Dywersyfikacja ryzyka na polskim rynku kapitałowym, Wydawnictwo Placet, Warszawa.
• Tarczyński W., Łuniewska M. (2006), Ograniczanie ryzyka inwestycyjnego na rynku kapitałowym - dywersyfikacji ryzyka pionowa r pozioma [w.] H Trzaskalik (red.), Modelowanie preferencji a ryzyko '05, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Katowice, s. 219-228.
• Tasche D. (2006), Measuring sectoral diversification in an asymptotic multifactor framework,-"Journal of Credit Risk", 2(3), s. 33-55.
• Tucker AL Becker KG., Isimbabi M.J., Ogden J.P. (1994), Contemporary Portfolio Theory'and Risk Management, West Publishing Company, Minneapolis, St. Paul, New York, Los Angeles, San Francisco.
• Ullah A. (1996), Entropy, divergence and distance measures with econometric applications, "Journal of Statistical Planning and Inference, 49.
• Urbanowicz K., Richmond P., Holyst J.A. (2012), Entropy and optimization of portfolios, Working Paper, Warsaw University of Technology, Warszawa.
• Vermorken M.A., Medda F.R., Schröder T. (2012), The diversification delta: A heigher-moment measure for portfolio diversification, "The Journal of Portfolio Management", 39, s. 67-74.
• Wagner W.H., Lau S.C. (1971), The effect of diversification on risk, "Finanacial Analysts Journal", 27(6), s. 48-53.
• Welc J. (2010), Wpływ stopnia dywersyfikacji na ryzyko portfela akcji na przykładzie wybranych strategii kontrariańskich, Prace Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, nr 117, "Inwestycje finansowe i ubezpieczenia - tendencje światowe a polski rynek", Wrocław, s. 441-449.
• Willenbrock S. (2011), Diversification return, portfolio rebalancing and the commodity return puzzle, "Financial Analysts Journal", 67(4), s. 42-49.
• Woerheide W., Persson D. (1993), An index of portfolio diversification, "Financial Services Review", 2(2), s. 155-160.
• Yang L., Rea W., Rea A. (2015), Stock selection with principal component analysis, Working paper.
• Yanou G. (2010), Mean-variance framework and diversification objective: Theoretical and empirical implications, Working Paper SSRN.
• Yitzhaki S. (1982), Stochastic dominance, mean variance and Gini's mean difference, "American Economic Review", 72, s. 178-185.
• Yu J.R., Lee W.Y., Chiou W.J.P. (2014), Diversified portfolios with different entropy measures, "Applied Mathematics and Computation", 241, s. 47-63.
• Zheng Z., Podobnik B., Feng L., Li B. (2012), Changes in cross-correlations as an indicator for systemic risk, "Scientific Reports", 2, s. 888.
• Zhou R., Cai R., Tong G. (2013), Applications of entropy in finance: A review', "Entropy", 15, s. 4909-4931.
• Zhou R., Zhan Y., Cai R., Tong G. (2015), A mean-variance hybrid-entropy model for portfolio selection with fuzzy returns, "Entropy", 17, s. 3319-3331.